題意：給定長度為$n$的自然數序列$a$和整數$k$，要求構造長度為$n$的自然數序列$b$，使得$0\le b_i\le a_i,\sum b_i=k$，且$\sum b_i(a_i?b_i^2)$最大化。

$n\le 10^5$

要求最大化的是$b(a?b^2)$,記為$f(x)=x(a?x^2)$

注意到$x$每增加$1$，$f(x)$會增加${\Delta }_i(x)=a_i?3x^2?3x?1$

注意到對于每個$i$,當$x\ge 0$時，${\Delta }_i(x)$單調遞減，題目所求就是所有數中的前$k$大之和，而每個${\Delta }_i$被取的一定是前面若干個，所以可以套路性地維護當前的$x_i$和一個堆，每次取堆頂讓對應的$x_i+1$

這樣復雜度是$O(k\log n)$無法通過

但是每次加上的${\Delta }_i(x)$是單調遞減的(廢話)，所以可以二分最小的$d={\Delta }_i(x)$，再二分出每個${\Delta }_i$被選了多少個，判斷$\sum x_i<k$

最后$\sum x_i$可能小于$k$，但每個位置最多只能$+1$,直接在當前基礎上暴力選$k?\sum x_i$個

復雜度$O(n{\log }^{2}V)$

#include <iostream> #include <cctype> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #define MAXN 100005 using namespace std; typedef long long ll; const ll INF=4e18; int a[MAXN],b[MAXN],x[MAXN],p[MAXN],n; ll k,sum; inline ll delta(const int& a,const int& x){return x==a? -INF:a-3ll*x*x-3ll*x-1;} inline bool cmp(int A,int B){return delta(a[A],x[A])>delta(a[B],x[B]);} inline bool check(ll v) {for (int i=1;i<=n;i++){if (delta(a[i],0)<v) x[i]=0;else{int l=0,r=a[i]-1,mid;while (l<r){mid=(l+r+1)>>1;if (delta(a[i],mid)<v) r=mid-1;else l=mid;}x[i]=l+1;}}sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) sum+=x[i];if (sum>k) return false;for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=x[i];return true; } int main() {cin>>n>>k;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);ll l=-INF,r=INF,mid,ans;while (l<r){mid=(l+r)/2;if (check(mid)) ans=mid,r=mid-1;else l=mid+1;}check(ans);for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;sort(p+1,p+n+1,cmp);for (int i=1;i<=k-sum;i++) ++b[p[i]];for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);return 0; }

總結

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