題意：$n$個人共有$m$個餅干，每輪隨機選一個餅干隨機給一個另外的人，所有餅干都在一個人手里時游戲結束，求期望進行次數。模$998244353$。

$n\le 10^5,m\le 3\times 10^5$

首先肯定是每個人作為最終獲得所有餅干的人分別考慮。

但是如果只考慮這個人的話，無法確定游戲進行過程中是否已經在其他人那里結束了。

所以干脆改下規則：設當前考慮的人為$x$，規定只有$x$收集完所有餅干后游戲才結束。也就是有人收集完了所有餅干后，如果他不是$x$，游戲繼續進行；否則游戲立即結束。

為了后面講清楚，這里給一個不正式的嚴謹定義：設$R,R_1～R_n$表示游戲遵循的規則，其中$R$表示任何一個人收集了所有餅干后游戲結束，即原來的規則。$R_x(x\in [1,n])$表示只有$x$收集完游戲才結束的新規則。

設在$R_x$下游戲期望進行的次數為$E_x^{\prime }$。即：設$f^{\prime }(x,i)$表示游戲進行了$i$步后結束且$x$獲得了所有餅干的概率，$E_x^{\prime }={\sum }_{i=0}^{\infty }i?f^{\prime }(x,i)$

注：這個$f^{\prime }(x,i)$和后面的$f(x,i)$只是為了方便理解定義，對推導沒有影響。

我們考慮尋找新的規則和原來的規則的聯系

在$R$下，設$P_x$表示游戲結束時所有餅干在$x$手上的概率，$E_x$表示所有餅干在$x$手上結束的所有情況 的 概率乘以時間 之和。（注意不是期望，概率的分母包括了在其他人那里結束的情況）

即：設$f(x,i)$表示游戲進行$i$步后結束，$x$獲得所有餅干的概率，$E_x={\sum }_{i=0}^{\infty }i?f(x,i),P_x={\sum }_{i=0}^{\infty }f(x,i)$

有${\sum }_{i=1}^n{P}_i=1,{\sum }_{i=1}^n{E}_i=ans$，$ans$為題目所求

設$C$表示在$R_j$下，現在所有餅干在$i$手上且$i=j$，游戲期望還要進行多少步。顯然這是個與$i,j$無關的常數。

考慮用$E_x$表示出$E_x^{\prime }$

為了方便，我們稱一個狀態為$i$類關鍵點，當且僅當這個狀態的所有餅干都在$i$手上。

考慮在$R_x$下的一場游戲，如果它只有結束狀態這一個關鍵點，期望步數為$E_x$

否則我們枚舉第一個關鍵點的類別$i$，顯然$i=x$，不然游戲會提前結束。然后從這個關鍵點開始就是 從“所有點都在$i$手上”這個狀態開始的$R_x$游戲，期望步數為$C$

所以：

$$E_x^{\prime }=E_x+\sum _{i=1}^n[i=x](E_i+P_{i}C)$$

如果你想不通為什么$C$要乘上$P_i$:

前面說過，$E_x={\sum }_{i=0}^{\infty }if(x,i)$
換句話說，對于每一個$i$，都有$f(x,i)$的可能性在$i$步后 所有餅干都在$x$手上，在這里就是到達枚舉的第一個關鍵點。
在這之后還需要$C$步來到最終結束的狀態，即${\sum }_{i=0}^{\infty }(i+C)f(x,i)$
而$P_x={\sum }_{i=0}^{\infty }f(x,i)$，所以加上$P_{i}C$就可以了

拆一下：

$$E_x^{\prime }=E_x+\sum _{i=1}^n[i=x](E_i+P_{i}C)$$

$$E_x^{\prime }=E_x+\sum _{i=1}^n[i=x]E_i+\sum _{i=1}^n[i=x]P_{i}C$$

$$E_x^{\prime }=\sum _{i=1}^n{E}_x+C\sum _{i=1}^n[i=x]P_i$$

$$E_x^{\prime }=ans+C(1?p_x)$$

對$x=1～n$求和

$$\sum _{i=1}^n{E}_i^{\prime }=n?ans+C(n?1)$$

只要求出$E_x^{\prime }$和$C$的值，問題就解決了！

而$C$是嚴格包含于$E_x^{\prime }$的，所以我們的目標是解決新規則下的問題。

注意到在$R_x$下，我們并不關心每個餅干具體在誰手上，我們只關心它在不在$x$手上

所以可以設$f(i)$表示當前$x$手上有$i$個餅干時期望進行次數。

$$f(i)=?\begin{array}{ll}1+\frac{1}{n?1}f(i+1)+\frac{n?2}{n?1}f(i)& x=0\\ 1+\frac{i}{m}f(i?1)+\frac{m?i}{m}(\frac{1}{n?1}f(i+1)+\frac{n?2}{n?1}f(i))& 0<x<m\\ 0& x=m\end{array}$$

解出這個方程就好了

暴力硬推是一種方法，這里有一個很優美的思路：

考慮中間的式子，記為

$$f(i)=Af(i?1)+Bf(i)+Cf(i+1)+1$$

$$Af(i?1)+(B?1)f(i)+Cf(i+1)+1=0$$

注意到$A+B+C=1$，設$g(i)=f(i)?f(i+1)$

$$A?g(i?1)+(A+B?1)g(i)+1=0$$

$$g(i)=\frac{A?g(i?1)+1}{C}$$

這樣推一次就可以把$g$算出來，求個后綴和就得到了$f$

然后$E_x^{\prime }=f(a_i),C=f(0)$

復雜度$O(n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 300005 using namespace std; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } const int MOD=998244353; typedef long long ll; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD: x-y;} int a[MAXN],f[MAXN]; int main() {int n=read(),m=0;for (int i=1;i<=n;i++) m+=(a[i]=read());f[0]=n-1;for (int i=1;i<m;i++) f[i]=((ll)i*inv(m)%MOD*f[i-1]%MOD+1)*m%MOD*(n-1)%MOD*inv(m-i)%MOD;for (int i=m;i>=0;i--) f[i]=add(f[i],f[i+1]);int sum=0;for (int i=1;i<=n;i++) sum=add(sum,f[a[i]]);sum=dec(sum,f[0]*(n-1ll)%MOD);sum=(ll)sum*inv(n)%MOD;cout<<sum;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【CF1349D】Slime and Biscuits【概率期望】【解方程】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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