題意：給一棵$n$個點的無權樹和$x$，$q$次詢問，每次給定一個點集$S$,詢問從$x$開始每次隨機走一步，$S$中的每個點至少被經過一次的期望步數。

$n\le 18,q\le 5000$

題目求的相當于是$S$中的所有點 第一次被訪問的時間 的最大值 的期望，發現$n$很小，可以Min-Max容斥成第一次到$S$ 中任意一個點的期望時間。

然后考慮 dp。設$x$為根，$f_u$表示從$u$開始到$S$中任意一個點的期望時間。

$$f_u=\frac{1}{de{g}_u}(f_{f{a}_u}+\sum _{v\in so{n}_u}{f}_v)+1$$

$$de{g}_u?f_u=f_{f{a}_u}+\sum _{v\in so{n}_u}{f}_v+de{g}_u$$

一個套路，待定系數法設$f_u=k_u{f}_{f{a}_u}+b_u$

$$de{g}_u?f_u=f_{f{a}_u}+\sum _{v\in so{n}_u}(k_v{f}_u+b_v)+de{g}_u$$

$$(de{g}_u?\sum k_v+1)?f_u=f_{f{a}_u}+\sum b_v+de{g}_u$$

解得

$$k_v=\frac{1}{de{g}_u?\sum k_v+1}$$

$$b_v=\frac{\sum b_v+de{g}_u}{de{g}_u?\sum k_v+1}$$

如果$u\in S$，有$f_u=0$，對它的父親沒有貢獻，直接$k_u=b_u=0$

$S$的答案就是$f_x=b_x$，乘上容斥系數再FWT一下就可以快速回答詢問

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> using namespace std; const int MOD=998244353; typedef long long ll; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;} int k[20],b[20]; vector<int> e[20]; void dfs(int u,int f,int S) {if (S&(1<<u)) return (void)(k[u]=b[u]=0);int sumk=0,sumb=0;for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=f)dfs(e[u][i],u,S),sumk=add(sumk,k[e[u][i]]),sumb=add(sumb,b[e[u][i]]);k[u]=inv(dec((int)e[u].size(),sumk)),b[u]=((ll)e[u].size()+sumb)*k[u]%MOD; } int f[1<<20]; int main() {int n,q,x;scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);for (int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);}for (int S=1;S<(1<<n);S++){dfs(x,0,S<<1);f[S]=b[x];int c=0;for (int i=0;i<n;i++) c^=(S>>i)&1;if (!c) f[S]=dec(0,f[S]);}for (int l=0;l<n;l++){int mid=1<<l,len=mid<<1;for (int s=0;s<(1<<n);s+=len)for (int k=0;k<mid;k++)f[s+mid+k]=add(f[s+mid+k],f[s+k]);}while (q--){int S=0;int k;scanf("%d",&k);for (int i=1;i<=k;i++){int x;scanf("%d",&x);S|=1<<x;}printf("%d\n",f[S>>1]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【PKUWC2018】随机游走【Min-Max容斥】【树形dp】【FWT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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