正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4331

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題目大意

給出一個序列$a$，求一個單調上升的序列$b$使得${\sum }_{i=1}^n|a_i?b_i|$最小。

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解題思路

巧妙的解法

首先我們讓所有的$a_i?i$這樣我們求的$b$序列就只需要滿足單調不降。

然后考慮特殊情況

• 對于一串連續的滿足$a_x\le a_{x+1}$那么這一段的$b_x=a_x$
• 對于一串連續的滿足$a_x\ge a_{x+1}$那么這一段的$b_x$為這一段數的中位數

而且對于連續的兩個區間$(L,mid)$和$(mid+1,R)$的局部最優解也滿足一下性質，所以就有做法：

我們維護若干段局部最優解$w$，每次加入一個數$a_i$如果滿足$a_i\ge w_{cnt}$那么有$b_i=a_i$。如果$a_i\le w_{cnt}$那么我們就將$a_i$合并入前面的局部最優解，并重新計算這一段的中位數后繼續看是否需要與前面合并（即判斷是否$w_{cnt}\ge w_{cnt?1}$）。

我們可以左偏樹做到動態合并和維護中位數（保持堆中個數為一半即可）。時間復雜度$O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e6+10; int n,cnt,a[N],rt[N],L[N],R[N]; int t[N][2],dis[N],val[N],siz[N]; long long ans; int Merge(int x,int y){if(!x||!y)return x+y;if(val[x]<val[y])swap(x,y);int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];rs=Merge(rs,y);if(dis[ls]<dis[rs])swap(ls,rs);dis[x]=dis[ls]+1;return x; } void Pop(int x) {siz[x]--;rt[x]=Merge(t[rt[x]][0],t[rt[x]][1]);} int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;for(int i=1;i<=n;i++){siz[++cnt]=1;val[i]=a[i];rt[cnt]=i;L[cnt]=R[cnt]=i;while(cnt>1&&val[rt[cnt-1]]>val[rt[cnt]]){cnt--;siz[cnt]+=siz[cnt+1];R[cnt]=R[cnt+1];rt[cnt]=Merge(rt[cnt],rt[cnt+1]);while(siz[cnt]>(R[cnt]-L[cnt])/2+1)Pop(cnt);}}for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)ans+=abs(a[j]-val[rt[i]]);printf("%lld\n",ans);for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)printf("%d ",val[rt[i]]+j); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P4331-[BalticOI2004]Sequence数字序列【左偏树】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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