一，一階自治ODE的形式：

• 含義：等式右邊是因變量y的函數(shù)，不含自變量t（與時(shí)間無關(guān)）。
• 這種方程用分離變量就可以解，但有時(shí)求解非常繁瑣

二，怎么在不解方程的前提下，知道解的性質(zhì)？可以用幾何法做””圖：

三、求的解的性質(zhì)（方程右邊是一次方程）：

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為臨界點(diǎn)；

根據(jù)上式，做“”圖和“”圖：? ?

當(dāng)時(shí)，遞增，箭頭朝正方向；當(dāng)時(shí)，遞減，箭頭朝負(fù)方向；

在””圖上畫出解曲線： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

這個(gè)公式的現(xiàn)實(shí)意義：當(dāng)y表示存款，r表示利率，w表示取出率時(shí)，w會(huì)影響臨界點(diǎn)，當(dāng)存款低于臨界點(diǎn)時(shí)，會(huì)逐漸變?yōu)?。

四，求邏輯斯蒂方程的解的性質(zhì)（方程右邊是二次方程）：

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為臨界點(diǎn)；

根據(jù)上式，做和“”圖和“”圖：

當(dāng)時(shí)，遞增，箭頭朝正方向；當(dāng)或時(shí)，遞減，箭頭朝負(fù)方向；

在””圖上畫出解曲線： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

穩(wěn)定解（穩(wěn)定臨界點(diǎn)）：隨著時(shí)間增長(zhǎng)，所有的解都趨近它；

非穩(wěn)定解（非穩(wěn)定臨界點(diǎn)）：隨著時(shí)間增長(zhǎng)，所有的解都遠(yuǎn)離它；

半穩(wěn)定解（半穩(wěn)定臨界點(diǎn)）：隨著時(shí)間增長(zhǎng)，一邊的解趨近它，另一邊的解遠(yuǎn)離它，見視頻34:00~36:00；

五，求方程的解的性質(zhì)：

方程右邊的目的：將邏輯斯蒂函數(shù)向下偏移h，使二次函數(shù)的頂點(diǎn)和y軸重合；現(xiàn)實(shí)意義是，當(dāng)收割率為h的時(shí)候，產(chǎn)量y不會(huì)下降為0，如圖。 ?

作圖可知臨界點(diǎn)和收割率h，千萬(wàn)別令方程右側(cè)等于0，然后倒弄二次函數(shù)來求，這樣非常繁瑣。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第五讲 一阶自治ODE的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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