一，一階線性ODE通常只有兩種解法：

• 分離變量法和積分因子法
• 求解其他一階微分方程需要先用換元法，化成可用以上兩種方法求解的方程

二，尺度變換（拉伸或壓縮坐標軸的方法）：，，a、b是常數

• 尺度變換的好處：

可以改變物理使用的單位；

可以使物理變量無量綱化；

減少或簡化方程中的常數（視頻例子5:20~10:40）；

三，換元法可以分為兩類：

直接代換：新變量={含老變量的方程}，例，設新變量

逆代換：老變量={含新變量和老變量的方程}，例，設老變量

四，用換元法解伯努利方程，：

兩邊同除以：

設變量，

代入原式得一階線性ODE：

化標準型解方程

得出解后，還原v后得通解

代入初始條件，解出C后得特解

五，一階齊次ODE的性質：

• 不受尺度變換的影響，因為分子分母同時縮放相同倍數，結果不變

六，解：

直接代換：

轉換成逆代換：，得

代入原式：

用分離變量法得出解，再還原z得通解

代入初始條件得特解

例題（略），視頻36:00~50:00

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的第四讲 一阶线性ODE换元法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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