一，一階線性ODE的一般形式：

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二，標準形式：

• 如果或，則方程為齊次方程

三，“溫度—濃度”模型：

假設用半透膜（只能滲透鹽的膜）包裹著淡水放進已加熱的鹽水里，淡水的溫度是，鹽水的溫度是，

建立溫度擴散的微分方程（牛頓冷卻定律）：，t表示時間，k表示熱導率，k>0

初始條件：

假設淡水的濃度是，鹽水的濃度是

建立濃度擴散的微分方程：，表示擴散率

初始條件：

四，微分方程的標準形式：，k可以是含x的函數

五，積分因子法求通解：

將微分方程化成標準型：

兩邊同時乘積分因子：

為了將方程左邊，設

解出：，（只取一個u，因此C=0）

方程化為，積分得出通解：

代入初始條件，解出C

將C代入通解，得特解

做題步驟：1→4→5→6和7

七，求常系數微分方程的通解：

化成標準型：，k為常數，且

解出：

方程化為

積分得出通解：

代入初始條件，，解出C：

得特解（略）

通解前半部分稱為穩態解，后半部分稱為暫態解

因為，當時，，暫態解，只留下穩態解

假設在圖中，有多個初始條件不同（C不同）的解，當時，解的圖像都會逼近穩態解

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第三讲 一阶线性ODE的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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