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UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题6 正交函数系简介

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 34 豆豆

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UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題6 正交函數(shù)系簡介

- 完備標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系
- 常用的正交系
- - 正交系與Laplace方程

完備標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系

Poisson方程的解可以用正交函數(shù)系表示，在不同的坐標(biāo)系下需要不同的正交函數(shù)系表示，這一講我們介紹一些常用的正交函數(shù)系，下一講開始會(huì)介紹一些用正交函數(shù)系求解靜電學(xué)問題的例子。

對(duì)于函數(shù)系 ${Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}$ ，如果
$∫abUn?(ξ)Um(ξ)dξ=δnm\int_a^b U_n^*(\xi)U_m(\xi)d\xi = \delta_{nm}$

就稱這個(gè)函數(shù)系Orthonomal，這里的 $δnm\delta_{nm}$ 是Kronecker符號(hào)。如果對(duì)于 $[a, b]$ 上的任意函數(shù) $f(ξ)f(\xi)$ ，
$f(ξ)=∑anUn(ξ)f(\xi) = \sum a_n U_n(\xi)$

使得 $??>0\forall \epsilon>0$ , $?N\exists N$ ， $∣f(ξ)?∑n=1NanUn(ξ)∣<?|f(\xi)-\sum_{n=1}^N a_nU_n(\xi)| < \epsilon$

就稱 ${Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}$ 是完備的。我們需要的是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。

常用的正交系

坐標(biāo)系正交系

直角坐標(biāo)系 $(x, y, z)$	Fourier: $eik??r?e^{i\vec k \cdot \vec r}$ 或 $e?ik??r?e^{-i\vec k \cdot \vec r}$
球坐標(biāo)系 $(r,θ,?)(r,\theta,\phi)$	球諧函數(shù)： $Y(θ,?)\mathcal{Y}(\theta,\phi)$
柱坐標(biāo)系 $(η,?,z)(\eta,\phi,z)$	Bessel函數(shù)： $JνJ_{\nu}$

當(dāng)球坐標(biāo)系下的解與經(jīng)角 $?\phi$ 無關(guān)時(shí)，球諧函數(shù)（spherical harmonics）退化為Legendre多項(xiàng)式。

正交系與Laplace方程

考慮無source時(shí)電勢滿足的Laplace方程：
$?2Φ=0\nabla^2 \Phi = 0$

直角坐標(biāo)系
在直角坐標(biāo)系中，如果可分離變量，則
$Φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\Phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$

于是
$?2Φ=?2XYZ?x2+?2XYZ?y2+?2XYZ?z2=?2X?x2YZ+?2Y?y2XZ+?2Z?z2XY=0?X′′X+Y′′Y+Z′′Z=0\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 XYZ}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial z^2} \\ = \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}YZ+\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}XZ+\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}XY = 0 \\ \Rightarrow \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0$

不妨引入比例常數(shù) $α\alpha$ ，使得
$?X′′X=Y′′Y+Z′′Z=α-\frac{X''}{X}=\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=\alpha$

從而 $X′′+α2X=0X''+\alpha^2X=0$ ，它的解系為 ${eiαx,e?iαx}\{e^{i\alpha x},e^{-i\alpha x}\}$ ；然后我們再引入一個(gè)比例常數(shù) $β\beta$ ，使得
$?Y′′Y+α2=Z′′Z=α2+β2-\frac{Y''}{Y}+\alpha^2=\frac{Z''}{Z}=\alpha^2+\beta^2$

可以被拆分為
$Y′′+β2Y=0Z′′?(α2+β2)Z=0Y''+\beta^2 Y = 0 \\ Z'' - (\alpha^2+\beta^2)Z=0$

所以 $Y$ 的解系為 ${e±iβy}\{e^{\pm i\beta y}\}$ ， $Z$ 的解系為 ${e±α2+β2z}\{e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}\}$ ，三個(gè)解系的積就是Laplace方程的解，虛數(shù)部分表示正弦波動(dòng)，實(shí)數(shù)部分表示電勢隨距離的衰減。綜上，Laplace方程的通解可以寫成
$Φ(x,y,z)=∑m,nanme±iαnxe±iβmye±α2+β2z\Phi(x,y,z)=\sum_{m,n}a_{nm}e^{\pm i \alpha_n x}e^{\pm i \beta_m y}e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}$

需要注意的是正交函數(shù)系方法具有一般性，不管實(shí)驗(yàn)設(shè)定如何復(fù)雜都可以用，但要得到精確的結(jié)果就必須要計(jì)算更多系數(shù)，用更多項(xiàng)來近似，所以需要在精度與計(jì)算量之間做權(quán)衡；對(duì)于對(duì)稱性比較高的問題，這里面系數(shù)不為0的項(xiàng)一般只有幾個(gè)，這種時(shí)候用其他方法其實(shí)是更簡便的。

總結(jié)

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