UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子
UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題5 用Green函數法求解interior Dirichlet問題的例子
例2
均勻金屬空心外殼厚度可忽略的接地球球心位于原點，半徑為aaa，用球坐標(r,θ,?)(r,\theta,\phi)(r,θ,?)描述，球面上邊界條件為Φ=Φ(a,θ,?)\Phi=\Phi(a,\theta,\phi)Φ=Φ(a,θ,?)，計算球內的電場。
解
V={r?:∣r?∣<R}V=\{\vec r:|\vec r| < R\}V={r:∣r∣<R}，邊界為S={r?:∣r?∣=R}S=\{\vec r:|\vec r|=R\}S={r:∣r∣=R}，Dirichlet條件為Φ(r?)=0,?r?∈S\Phi(\vec r)=0,\forall \vec r \in SΦ(r)=0,?r∈S；寫出Green函數：
G(r?,r?′)=1∣r??r?′∣+F(r?,r?′)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r, \vec r')G(r,r′)=∣r?r′∣1?+F(r,r′)
為簡化起見，我們假設沿r?′\vec r'r′的方向存在一個image charge，我們假設它的電荷量為q′q'q′，用n^′\hat n'n^′表示與r?′\vec r'r′平行的SSS的外法向，則image charge的位置可以表示為r?′′=r′′n^′\vec r'' = r''\hat n'r′′=r′′n^′；假設測試電荷的位置為r?\vec rr，與它平行的SSS的外法向為n^\hat nn^，假設n^\hat nn^與n^′\hat n'n^′的夾角為γ\gammaγ；于是
G(r?,r?′)=1∣r??r?′∣+q′∣r??r?′′∣=1∣rn^?r′n^′∣+q′∣rn^?r′′n^∣G(\vec r, \vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+\frac{q'}{|\vec r - \vec r''|} = \frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|}G(r,r′)=∣r?r′∣1?+∣r?r′′∣q′?=∣rn^?r′n^′∣1?+∣rn^?r′′n^∣q′?
其中q′q'q′與r′′r''r′′是未知參數，我們需要用image charge的性質，解出這兩個參數。根據G(r?,r?′)∣r?∈S=0G(\vec r,\vec r')|_{\vec r \in S}=0G(r,r′)∣r∈S?=0，我們可以得到：
1∣rn^?r′n^′∣+q′∣rn^?r′′n^∣=1r∣n^?r′rn^′∣+q′r′′∣rr′′n^?n^′∣=0r=a\frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|} = \frac{1}{r|\hat n - \frac{r'}{r}\hat n'|}+\frac{q'}{r''| \frac{r}{r''}\hat n-\hat n'|}=0 \\ r=a∣rn^?r′n^′∣1?+∣rn^?r′′n^∣q′?=r∣n^?rr′?n^′∣1?+r′′∣r′′r?n^?n^′∣q′?=0r=a
一種可行的解是
{q′r′′=?1r=?1arr′′=ar′′=r′r=r′a?{q′=?ar′2r′′=a2r′\begin{cases} \frac{q'}{r''}=-\frac{1}{r} = -\frac{1}{a} \\ \frac{r}{r''} = \frac{a}{r''}=\frac{r'}{r}=\frac{r'}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} q' = -\frac{a}{r'^2} \\ r'' = \frac{a^2}{r'} \end{cases}{r′′q′?=?r1?=?a1?r′′r?=r′′a?=rr′?=ar′???{q′=?r′2a?r′′=r′a2??
需要注意的是r?′\vec r'r′的方向就是邊界的一個外法線方向n^′\hat n'n^′，測試電荷的位置r?\vec rr的方向也是邊界的一個外法線方向n^\hat nn^，記這兩個外法線方向夾角為γ\gammaγ，則在球坐標中：
r?=r(sin?θcos??,sin?θ,sin??,cos?θ)cos?γ=cos?θcos?θ′+sin?θsin?θ′cos?(???′)\vec r = r(\sin \theta\cos \phi,\sin \theta,\sin \phi,\cos \theta) \\ \cos \gamma= \cos \theta \cos \theta'+\sin \theta \sin \theta' \cos (\phi-\phi')r=r(sinθcos?,sinθ,sin?,cosθ)cosγ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(???′)
現在我們就可以把Green函數在球坐標系下的表達式寫出來了，
G=1r2+r′2?2rr′cos?γ?1r2r′2a2+a2?2rr′cos?γG =\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos \gamma}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma}}G=r2+r′2?2rr′cosγ?1??a2r2r′2?+a2?2rr′cosγ?1?
Dirichlet問題的積分解：
Φ(r?)=∫Vρ(r?′)G(r?,r?′)dx′dy′dz′?14π∮S(V)Φ(r?′)?G?ndS\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)} \Phi(\vec r')\frac{\partial G}{\partial n}dSΦ(r)=∫V?ρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′?4π1?∮S(V)?Φ(r′)?n?G?dS
因為這個題目球的內部沒有source，所以第一項為零，于是我們只需計算
?G?n=?G?r′=?r′?rcos?γ(r2+r′2?2rr′cos?γ)3/2+r2r′a2?rcos?γ(r2r′2a2+a2?2rr′cos?γ)3/2?G?n∣r′=a=r2?a2a(r2+a2?2arcos?γ)3/2\frac{\partial G}{\partial n}=\frac{\partial G}{\partial r'}=-\frac{r'-r \cos \gamma}{(r^2+r'^2-2rr' \cos \gamma)^{3/2}}\\ + \frac{\frac{r^2r'}{a^2}-r\cos \gamma}{(\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma)^{3/2}} \\ \frac{\partial G}{\partial n}|_{r'=a} = \frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}?n?G?=?r′?G?=?(r2+r′2?2rr′cosγ)3/2r′?rcosγ?+(a2r2r′2?+a2?2rr′cosγ)3/2a2r2r′??rcosγ??n?G?∣r′=a?=a(r2+a2?2arcosγ)3/2r2?a2?
因此結果為
Φ(r,θ,?)=?14π∮SΦ(a′,θ′?′)r2?a2a(r2+a2?2arcos?γ)3/2dS\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\oint_S \Phi(a',\theta'\phi')\frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}dSΦ(r,θ,?)=?4π1?∮S?Φ(a′,θ′?′)a(r2+a2?2arcosγ)3/2r2?a2?dS
其中dS=a2sin?θdθd?dS = a^2\sin \theta d \theta d\phidS=a2sinθdθd?, 因此
Φ(r,θ,?)=?14π?Φ(a′,θ′?′)a(r2?a2)sin?θ(r2+a2?2arcos?γ)3/2dθd?\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\iint \Phi(a',\theta'\phi')\frac{a(r^2-a^2)\sin \theta}{(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}d\theta d\phiΦ(r,θ,?)=?4π1??Φ(a′,θ′?′)(r2+a2?2arcosγ)3/2a(r2?a2)sinθ?dθd?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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