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UA MATH564 概率论多元随机变量的变换理论与应用2

發布時間：2025/4/14 编程问答 27 豆豆

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UA MATH564 概率論多元隨機變量的變換幾個例題

例5 $X1,X2,X3～iidEXP(λ)X_1,X_2,X_3 \sim_{iid} EXP(\lambda)$ ， $Y1=X1+X2+X3,Y2=X1X1+X2,Y3=X1+X2X1+X2+X3Y_1 = X_1+X_2+X_3,Y_2 = \frac{X_1}{X_1+X_2},Y_3 = \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3}$ ，求 $Y_1,Y_2,Y_3$ 的聯合概率密度，并判斷他們是否互相獨立。
先把 $X_1,X_2,X_3$ 表示成 $Y_1,Y_2,Y_3$ 的函數，
$Y3=X1+X2X1+X2+X3=X1+X2Y1?X1+X2=Y1Y3Y2=X1X1+X2=X1Y1Y3?X1=Y1Y2Y3Y_3 = \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3} = \frac{X_1+X_2}{Y_1} \Rightarrow X_1+X_2 = Y_1Y_3 \\ Y_2 = \frac{X_1}{X_1+X_2} = \frac{X_1}{Y_1Y_3} \Rightarrow X_1 = Y_1Y_2Y_3$

因此 $X_2 = Y_1Y_3(1-Y_2),X_3 = Y_1(1-Y_3)$ ，
$?(X1,X2,X3)?(Y1,Y2,Y3)=∣Y2Y3Y3(1?Y2)1?Y3Y1Y3?Y1Y30Y1Y2Y1(1?Y2)?Y1∣=(1?Y3)[Y12(1?Y2)Y3+Y12Y2Y3]?Y1[?Y1Y2Y32?Y1(1?Y2)Y32]=(1?Y3)Y12Y3+Y12Y32=Y12\frac{\partial (X_1,X_2,X_3)}{\partial (Y_1,Y_2,Y_3)} = \left| \begin{matrix}Y_2Y_3 & Y_3(1-Y_2) & 1-Y_3 \\ Y_1Y_3 & -Y_1Y_3 & 0 \\ Y_1Y_2 & Y_1(1-Y_2) &-Y_1 \end{matrix}\right| \\ = (1-Y_3)[Y_1^2(1-Y_2)Y_3+Y_1^2Y_2Y_3]-Y_1[-Y_1Y_2Y_3^2-Y_1(1-Y_2)Y_3^2] \\ = (1-Y_3)Y_1^2Y_3+Y_1^2Y_3^2 = Y_1^2$

$X_1,X_2,X_3$ 的聯合概率密度是
$fX1,X2,X3(x1,x2,x3)=λ3e?λ(x1+x2+x3),x1,x2,x3>0f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3) = \lambda^3e^{-\lambda(x_1+x_2+x_3)},x_1,x_2,x_3>0$

因此 $Y_1,Y_2,Y_3$ 的聯合概率密度是
$fY1,Y2,Y3(y1,y2,y3)=λ3y12e?λy1,y1>0f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3) = \lambda^3 y_1^2 e^{-\lambda y_1},y_1>0$

顯然 $Y_1,Y_2,Y_3$ 獨立。

例5 續 $Z_1 = X_1/Y_1$ ， $Z_2 = X_2/Y_1$ ，求 $Z_1,Z_2$ 的聯合概率密度。
先對 $Z_1,Z_2$ 變形一下，
$Z1=X1Y1=Y1Y2Y3Y1=Y2Y3Z2=X2Y1=Y1Y3(1?Y2)Y1=Y3(1?Y2)Z_1 = \frac{X_1}{Y_1} = \frac{Y_1Y_2Y_3}{Y_1} = Y_2Y_3 \\ Z_2 = \frac{X_2}{Y_1} = \frac{Y_1Y_3(1-Y_2)}{Y_1} = Y_3(1 - Y_2)$

再把 $Y_2,Y_3$ 表示為 $Z_1,Z_2$ 的函數
$1?Y2Y2=1Y2?1=Z2Z1?Y2=Z1Z1+Z2\frac{1-Y_2}{Y_2} = \frac{1}{Y_2}-1= \frac{Z_2}{Z_1} \Rightarrow Y_2 = \frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$

所以 $Y_3 = Z_1+Z_2$ ，計算Jacobi行列式
$?(Y2,Y3)?(Z1,Z2)=∣Z2(Z1+Z2)21?Z1(Z1+Z2)21∣=1Z1+Z2\frac{\partial (Y_2,Y_3)}{\partial (Z_1,Z_2)} = \left| \begin{matrix} \frac{Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}&1\\-\frac{Z_1}{(Z_1+Z_2)^2} & 1 \end{matrix} \right| = \frac{1}{Z_1+Z_2}$

$Y_2,Y_3$ 的聯合概率密度為
$fY2,Y3(y2,y3)=∫0∞λ3y12e?λy1dy1=?∫0∞λ2y12e?λy1d(?λy1)=?λ2y12e?λy1∣0∞+∫0∞2λ2y1e?λy1dy1=?∫0∞2λy1e?λy1d(?λy1)=?2λy1e?λy1∣0∞+∫0∞2λe?λy1dy1=?2e?λy1∣0∞=2f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3) = \int_{0}^{\infty} \lambda^3 y_1^2 e^{-\lambda y_1}dy_1 =-\int_{0}^{\infty} \lambda^2 y_1^2 e^{-\lambda y_1}d(-\lambda y_1) \\ = -\lambda^2 y_1^2 e^{-\lambda y_1}|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} 2\lambda^2 y_1 e^{-\lambda y_1} dy_1 = -\int_0^{\infty} 2\lambda y_1 e^{-\lambda y_1} d(-\lambda y_1) \\ = -2\lambda y_1e^{-\lambda y_1}|_0^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2\lambda e^{-\lambda y_1}dy_1 = -2e^{-\lambda y_1}|_0^{\infty} = 2$

因此 $Z_1,Z_2$ 的聯合概率密度是
$fZ1,Z2(z1,z2)=2z1+z2,z1,z2∈(0,1)f_{Z_1,Z_2}(z_1,z_2) = \frac{2}{z_1+z_2},z_1,z_2 \in (0,1)$

總結

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