λ-矩陣的標準形是唯一的.

定義5

設λ-矩陣的秩為r，對于正整數中必有非零的k級子式，中全部k級子式的首項系數為1的最大公因式稱為的k級行列式因子。

對于秩為r的λ-矩陣，行列式因子一共有r個，行列式因子的意義在于初等變換下是不變的。

定理3：等價的λ-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子。

現在來計算標準形矩陣的行列式因子，設標準形為其中是首項系數為1的多項式，且

在這種形式的矩陣中，如果一個k級子式包含的行與列的標號不完全相同，那么這個k級子式一定為零，這種k級子式的最大公因式就是

定理4：λ-矩陣的標準形是唯一的。

有標準形主對角線上的非零元素被行列式因子唯一決定，且有

在計算λ-矩陣的行列式因子時，常常先計算最高級的行列式因子，這樣就大致有了低級行列式因子的范圍了。

定義6

標準形的主對角線上非零元素稱為λ-矩陣的不變因子。

定理5：兩個λ-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或者，有相同的不變因子。

例：可逆矩陣的標準形，設為一個n×n可逆矩陣，其中d是一非零常數，即于是可知從而因此，可逆矩陣的標準形是單位矩陣E。

這就是說，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價。

定理6：矩陣是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積。

推論：兩個s×n的λ-矩陣與等價的充分必要條件為，有一個s×s可逆矩陣與一個n×n可逆矩陣使得

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的λ-矩阵（不变因子）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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