設P是一個數域，λ是一個文字，做多項式環 一個矩陣，如果它的元素是λ的多項式，即的元素，就稱為λ-矩陣。把以數域P中的數為元素的矩陣稱為數字矩陣。

定義1：如果λ-矩陣中有一個級子式不為零，而所有r+1級子式（如果有的話）全為零，則稱的秩為r，零矩陣的秩規定為零。

定義2：一個的λ-矩陣稱為可逆的，如果有一個的λ-矩陣使這里E使n 級單位矩陣，適合（1）的矩陣（它是唯一的）稱為的逆矩陣，記為

定理1：一個的λ-矩陣稱為可逆的充分必要條件為行列式是一個非零的數。

?證明：先證充分性，設是一個非零的數，是的伴隨矩陣，它也是一個λ-矩陣，而 ? ? ? 因此，可逆。

反過來，如果可逆，在（1）的兩邊取行列式，因為與都是λ的多項式，所以由它們的乘積是1可知，它們都是零次多項式，也就是非零的數。

定義3：λ-矩陣的初等變換：

（1）矩陣的兩行（列）互換位置，記為

（2）矩陣的某一行（列）乘非零的常數c，記為

（3）矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一個多項式（注意λ多項式中λ的次數），記為

初等矩陣都是可逆的，有初等變換具有可逆性，初等行變換，左乘；初等列變換，右乘。

定義4：λ-矩陣稱為等價，如果可以經過一系列初等變換將化為.

?性質：自反性；對稱性；傳遞性。

應用初等變換與初等矩陣的關系即得，矩陣與等價的充分必要條件為

有一系列初等矩陣使

引理：設λ-矩陣的左上角元素并且中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個與等價的矩陣，它的左上角元素也不為零，但是次數比的次數低。

定理2

任意一個非零的s×n的λ-矩陣都等價于下列形式的矩陣

其中是首項系數為1的多項式，且這個矩陣稱為的標準形。

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的λ-矩阵（λ-矩阵在初等变换下的标准形）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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