定義1

設是線性空間V的一個線性變換，的全體像組成的集合稱為的值域，用表示，所有被變成零向量組成的集合稱為的核，用表示。

若用集合的記號則

線性變換的值域于核都是V的子空間，他們對加法和數量乘法是封閉的。的維數稱為的秩，的維數稱為的零度。

例1：在線性空間中，令則的值域就是的核就是子空間P。

定理1

設是n維線性空間V的線性變換，是V的一組基，在這組基下的矩陣是A，則

（1）的值域是由基像組生成的子空間，即

（2）的秩=A的秩；

定理2

設是n維線性空間V的線性變換，則的一組基的原像及的一組基合起來就是V的一組基，由此還有的秩+的零度=n.

推論：對于有限維線性空間的線性變換，它是單射的充分必要條件為它是滿射。雖然子空間于的維數之和為n，但是并不一定是整個空間。

例2：設A是一個n階矩陣，則A相似于一個對角矩陣

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性变换的值域与核的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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