排序算法：堆排序
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排序算法：堆排序
十大排序算法小結(jié)
一、堆：
1、什么是堆：
堆是一種特殊的樹，它滿足需要滿足兩個條件：
（1）堆是一種完全二叉樹，也就是除了最后一層，其他層的節(jié)點個數(shù)都是滿的，最后一個節(jié)點都靠左排列。
（2）堆中每一個節(jié)點的值都必須大于等于（或小于等于）其左右子節(jié)點的值。
對于每個節(jié)點的值都大于等于子樹中每個節(jié)點值的堆，我們叫作“大頂堆”。對于每個節(jié)點的值都小于等于子樹中每個節(jié)點值的堆，我們叫作“小頂堆”。
2、堆的實現(xiàn)：
用數(shù)組來存儲完全二叉樹是非常節(jié)省內(nèi)存空間的，因為我們不需要存儲左右子節(jié)點的指針，單純通過數(shù)組的下標，就可以找到一個節(jié)點的子節(jié)點和父節(jié)點。
從圖中我們可以看到，數(shù)組中下標為 i 的節(jié)點的左子節(jié)點，就是下標為 i?2?的節(jié)點，右子節(jié)點就是下標為 i?2+1的節(jié)點，父節(jié)點就是下標為i/2的節(jié)點。
3、堆的核心操作：
（1）往堆中插入一個元素：
我們新插入一個元素之后，堆可能就不滿足堆的特性了，就需要進行調(diào)整，讓其重新滿足堆的特性，即堆化(heapify)，堆化非常簡單，就是順著節(jié)點所在的路徑，向上或者向下，對比，然后交換。所以分為兩種，從下往上 和 從上往下。
①從下往上堆化：
例如：在已經(jīng)建好的堆中插入值為“22”的結(jié)點，這時候就需要重新調(diào)整堆結(jié)構(gòu)，過程如下：
Java代碼實現(xiàn)：
public class Heap {private int[] a;//數(shù)組，從下標1開始存儲數(shù)據(jù)private int n;//堆可以存儲的最大數(shù)據(jù)個數(shù)private int count;//堆中已經(jīng)存儲的數(shù)據(jù)個數(shù)public Heap(int capacity){a = new int[capacity+1];n=capacity;count = 0;}//1、插入數(shù)據(jù)，并從下往上堆化public void insert(int data){if(count>=n) return;//堆滿了++count;a[count]=data;int i = count;while(i/2>0 && a[i]>a[i/2]){swap(a,i,i/2);i=i/2;}}private void swap(int[] array, int i, int j) {int temp=array[j];array[j]=array[i];array[i]=temp;} }（2）從堆中刪除堆頂元素：
刪除步驟：把最后一個節(jié)點放到堆頂，然后利用同樣的父子節(jié)點對比方法。對于不滿足父子節(jié)點大小關(guān)系的，互換兩個節(jié)點，并且重復(fù)進行這個過程，直到父子節(jié)點之間滿足大小關(guān)系為止。這就是從上往下的堆化方法。
例如：刪除堆頂?shù)摹?3”結(jié)點，刪除步驟如下：
Java代碼實現(xiàn)：
public void removeMax(){if(count ==0) return;a[1]=a[count];--count;heapity(a,count,1);}//2、自上往下堆化private void heapity(int[] a2, int n, int i) {while(true){int MaxPos=i;if(i*2<=n && a[i]<a[i*2]) MaxPos=i*2;if(i*2+1<=n && a[MaxPos]<a[i*2+1]) MaxPos=i*2+1;if(MaxPos==i) break;swap(a, i, MaxPos);i=MaxPos;}}一個包含 n個節(jié)點的完全二叉樹，樹的高度不會超過 log2n。堆化的過程是順著節(jié)點所在路徑比較交換的，所以堆化的時間復(fù)雜度跟樹的高度成正比，也就O(logn)。插入數(shù)據(jù)和刪除堆頂元素的主要邏輯就是堆化，所以在堆中插入一個元素和刪除堆頂元素的時間復(fù)雜度都是O(logn)。
二、堆排序：
1、算法原理：
堆排序是指利用堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進行排序的一種算法。
（1）排序過程中，只需要個別臨時存儲空間，所以堆排序是原地排序算法，空間復(fù)雜度為O(1)。
（2）堆排序的過程分為建堆和排序兩大步驟。建堆過程的時間復(fù)雜度為O(n)，排序過程的時間復(fù)雜度為O(nlogn)，所以，堆排序整體的時間復(fù)雜度為O(nlogn）。
（3）堆排序不是穩(wěn)定的算法，因為在排序的過程中，存在將堆的最后一個節(jié)點跟堆頂節(jié)點互換的操作，所以可能改變值相同數(shù)據(jù)的原始相對順序。
2、建堆：
（1）第一種是實現(xiàn)思路：借助前面的，在堆中插入元素的思路。將要排序的數(shù)組從前往后處理，依次到插入堆中，并且每次都從下往上進行堆化。
（2）第二種實現(xiàn)實現(xiàn)思路：從后往前處理數(shù)組，并且每個數(shù)據(jù)都是從上往下堆化。也就是從二叉樹中第一個非葉子節(jié)點開始開始堆化，因為葉子節(jié)點往下堆化只能自己跟自己比較。如下圖：
Java代碼實現(xiàn)：
//3、第二種堆化的方法：public void buildHeap(int[] a,int n){for(int i=n/2;i>=1;--i){heapity(a,n,i);}}//2、自上往下堆化private void heapity(int[] a, int n, int i) {while(true){int MaxPos=i;if(i*2<=n && a[i]<a[i*2]) MaxPos=i*2;if(i*2+1<=n && a[MaxPos]<a[i*2+1]) MaxPos=i*2+1;if(MaxPos==i) break;swap(a, i, MaxPos);i=MaxPos;}}3、排序：
（1）建堆：建堆結(jié)束后，數(shù)組中的數(shù)據(jù)已經(jīng)是按照大頂堆的特性組織的。數(shù)組中的第一個元素就是堆頂。
（2）取出最大值(類似刪除操作)：將堆頂元素a[1]與最后一個元素a[n]交換，這時，最大元素就放到了下標為n的位置。
（3）重新堆化：交換后新的堆頂可能違反堆的性質(zhì)，需要重新進行堆化。
（4）重復(fù)(2)(3)操作，直到最后堆中只剩下下標為1的元素，排序就完成了。
Java代碼實現(xiàn)：
//4、排序,n表示數(shù)據(jù)的個數(shù)。public void sort(int[] a,int n) {buildHeap(a,n);int k=n;while(k>1){swap(a, 1, k);--k;heapity(a,k,1);}}?
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本篇博客主要參考《極客時間》王爭的《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之美》專欄第28節(jié)。
總結(jié)
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