2019年11月，美國(guó)普林斯頓大學(xué)出版社出版了美國(guó)歐柏林學(xué)院數(shù)學(xué)教授羅伯特·博施的著作OPT ART：From Mathematical Optimization to Visual Design（本文作者譯為“優(yōu)化藝術(shù)：從數(shù)學(xué)優(yōu)化到視覺設(shè)計(jì)”）。

書中有一幅圖，遠(yuǎn)看是美國(guó)前總統(tǒng)奧巴馬的頭像，近看是無數(shù)白色塊嵌在黑色背景上。具體點(diǎn)說，這些白色塊是雙九多米諾骨牌上的白點(diǎn)。所謂“雙九”，是說每塊骨牌分成兩個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)內(nèi)有0到9個(gè)不等的白點(diǎn)，表示不同的數(shù)字。一套雙九多米諾骨牌有55張。奧巴馬的頭像是用44套骨牌（共2420張）拼出來的。必須巧妙地安放這些骨牌，才能使肉眼覺得這些深淺、明暗不同的色塊組成了有意義的圖像。

40年前，貝爾實(shí)驗(yàn)室的計(jì)算機(jī)科學(xué)家兼藝術(shù)家Ken Knowlton（1931年生）首創(chuàng)將多米諾骨牌用作視覺表達(dá)的媒介。用骨牌創(chuàng)作奧巴馬頭像的則是本書作者博施，他大大提升了書呆子愛玩的骨牌拼圖游戲的層次。他的目標(biāo)，不僅是用骨牌拼出一個(gè)與原圖很像的圖形，而且要求拼圖的光影模式與原圖密切匹配。本書介紹了優(yōu)化圖形作品的概念，以及創(chuàng)作此類作品的計(jì)算工具。

例如，他用55×88的網(wǎng)格將奧巴馬頭像照片劃分為4840個(gè)方塊。原圖的灰度被壓縮為10個(gè)數(shù)值，0表示最暗，9表示最亮。然后，在每?jī)蓚€(gè)相鄰方塊上放置一塊骨牌，使得每塊骨牌兩個(gè)區(qū)的各自點(diǎn)數(shù)與所覆蓋的相鄰方塊的灰度值盡可能對(duì)應(yīng)。這里有很多說道，不僅要選擇合適的骨牌，還得知道按什么方向去置放骨牌。最后，每一方塊上都覆蓋了骨牌，44副骨牌的每一塊都確定了自己的位置。

怎么知道這2420塊骨牌安放得近乎完美呢？這是很難的。要知道，只用一副雙九多米諾骨牌，不同的安放方案之?dāng)?shù)量就大于10的73次方！博施采用線性規(guī)劃法來回答這個(gè)問題。在這里，“線性”意味著解空間里只有直線和平面，沒有曲線。

線性優(yōu)化問題之解決工具所出自的環(huán)境與藝術(shù)是八竿子打不著的。從歷史上說，人們應(yīng)用線性優(yōu)化的領(lǐng)域主要是商業(yè)和經(jīng)濟(jì)、物流、管理、軍事規(guī)劃等等。比如，航空公司可用線性規(guī)劃法來獲得飛機(jī)、航線和乘員人數(shù)之間的最優(yōu)組合。化工廠可用線性規(guī)劃法來安排多種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使得利潤(rùn)最大。

博施讓我們認(rèn)識(shí)到，有時(shí)候，藝術(shù)其實(shí)也是一種滿足限制條件的解題練習(xí)。他舉例說，點(diǎn)彩畫新印象主義代表畫家喬治·修拉在創(chuàng)作布面油畫《大碗島的星期天下午》時(shí)，就要完成這樣的任務(wù)：“對(duì)自己在河畔所見景象進(jìn)行盡可能好的描繪，但要受限于兩條自己規(guī)定的嚴(yán)格條件：必須將各種色彩分開，必須將精準(zhǔn)的小點(diǎn)畫在畫布上。”這一任務(wù)就有點(diǎn)像用多米諾骨牌來拼圖了。

博施平時(shí)講授的課目中就包括“優(yōu)化”。在本書中，他提了一個(gè)問題：用數(shù)量有限的樂高積木塊，能搭出什么東西來？為回答此問題，他首先簡(jiǎn)單介紹了一些基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)知識(shí)；然后講解“每塊瓷磚覆蓋一個(gè)方塊”這樣的簡(jiǎn)單馬賽克拼圖可用什么樣的優(yōu)化程序來解決；接著，他再處理挑戰(zhàn)性較大的多米諾骨牌覆蓋問題。

本書還介紹了另一種數(shù)據(jù)優(yōu)化型藝術(shù)作品：將若干散點(diǎn)用“一筆畫”式的連續(xù)線條勾連起來，并構(gòu)成一幅圖形。這個(gè)問題與計(jì)算機(jī)科學(xué)中著名的“旅行推銷員”難題是同構(gòu)的。

然后，博施又呈現(xiàn)了將優(yōu)化程序施用于各種事物（紐結(jié)、馬在國(guó)際象棋棋盤上走過的位置、迷宮、施加進(jìn)一步限制條件的瓷磚鋪嵌，等等）所生成的其他玄妙圖形。

總之，本書引導(dǎo)讀者領(lǐng)略了數(shù)學(xué)與藝術(shù)融合的美好風(fēng)光。博施在數(shù)學(xué)和藝術(shù)上都傾注了同樣的熱情。在書里，藝術(shù)作品不單單是吸引讀者的噱頭，數(shù)學(xué)也不單單是生成藝術(shù)圖形的工具。二者都具有深刻的內(nèi)在魅力。

本書不足之處在于，如果讀者想循著作者的思路親自動(dòng)手探索一番優(yōu)化藝術(shù)，卻不能在書中找到有效的指導(dǎo)。而且，作者采用的計(jì)算機(jī)軟件包Gurobi Optimizer只開放給在學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)工作的人免費(fèi)試用，一般讀者無法享用。

編輯?∑Gemini 來源：科學(xué)網(wǎng)博客·武夷山文章推薦?數(shù)學(xué)家探索兩個(gè)幾何世界之間的鏡像鏈接 ?數(shù)學(xué)天才帕吉特：他有如電影般的人生際遇?世界上最奇怪的數(shù)學(xué)天才，被獎(jiǎng)勵(lì)100萬卻拒領(lǐng)，寧愿過得像乞丐?斯坦福大學(xué)教育學(xué)院院長(zhǎng)：學(xué)習(xí)本身就是一門學(xué)問?如果沒有數(shù)學(xué)，我們?nèi)绾螠y(cè)量?數(shù)學(xué)的真相：物理時(shí)空的數(shù)字模型還是現(xiàn)實(shí)本身？

總結(jié)

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