題目鏈接：點擊查看

題目大意：

蒜斜非常喜歡下圍棋。自從AlphaOg面世以來，他就立志一定要研究出AlphaOg的破綻。 終于，他發現當AlphaOg遇到一種特殊局面后，它的神經網絡會自動輸出“投降”！

隨著進一步的研究，蒜斜發現這種局面有著更一般的特性，不僅僅局限于固定大小棋盤。 具體來說，當棋盤大小是?nn（n+1n+1?是一個質數）且棋盤上恰好有?nn?個棋子的時候，如果這些棋子的位置滿足下列條件，那么 AlphaOg 就會直接投降。假設第?ii?個棋子的位置是點?PiPi，處在第?xixi?行第?yiyi?列，那么這些坐標需要滿足：

x1 至?xn 是?1?n 的排列。

y1 至?yn 是?1?n 的排列。

這些點之間不構成平行四邊形（包括退化）。即對于任何兩個不完全相同的棋子對?(Pa,Pb),(Pc,Pd)（允許它們之間共用至多一個棋子），線段?PaPb 與?PcPd 要么長度不同，要么所在的直線不平行且不重合。

憑借這項發現，蒜斜榮獲了“北大算協吉祥物”的稱號。 如果你也能找出一種合法方案，蒜斜的稱號就是你的了！

輸入格式

輸入第一行包含一個整數?t(1≤t≤10)，表示數據組數。

對于每組數據，輸入第一行包含一個整數?n(4≤n≤1000)，保證?n+1 是一個質數。

輸出格式

對于每組數據，如果無解輸出一行一個整數 -1。否則輸出?nn?行，每行兩個整數?(xi,yi)(1≤xi≤n,1≤yi≤n)，表示第?ii?個棋子的坐標。如果坐標方案不唯一，你只需要輸出任意一種。

樣例一

input

1 4

output

1 1 3 2 4 3 2 4

限制與約定

Small Task:?n≤12n≤12。

Large Task:?n≤1000n≤1000。

時間限制：1s1s

空間限制：512MB

題目分析：首先需要知道原根的定義：

假設一個數g是P的原根，那么g^i mod P的結果兩兩不同，且有 1<g<P，0<i<P，歸根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)當且僅當指數為P-1的時候成立.(這里P是素數)。（百度百科）

?換句話說，質數 P 一定有原根

既然題目提示了 n + 1 是一個質數，結合到原根上去，不難發現 g ^ i % ( n + 1 ) 的集合符合 1 ~ n 的一個排列

這樣情況一和情況二都滿足了，只需要證明情況三也滿足就ok了

任取四個點 A( a , g^a ) ,?B( b , g^b ) ,?C( c , g^c ) ,?D( d , g^d ) ，如果四個點想要構成平行四邊形的話，那么需要同時滿足下面兩個條件，且共用的點至多有一個：假設 b < a 且 d < c

a - b == c - d

g^a - g^b == g^c - g^d

當 a - b == c - d 時，g^a - g^b = g^b * ( g^( a - b )?- 1 ) ，同理 g^c - g^d = g^d * ( g^( c - d ) - 1 )，因為 a - b == c - d ，所以?g^b * ( g^( a - b )?- 1 )? 與 g^d * ( g^( c - d ) - 1 ) 中的?g^( a - b ) ==?g^( c - d ) ，所以將括號約分之后可以得到 g^b == g^d，再帶回原式?g^a - g^b == g^c - g^d 中，可以得出 g^a == g^c，根據原根的定義可知，此時 b == d 且 a == c ，也就是點 A 與點?C 重合，且點 B 與點 D 重合，無法做到既是兩邊平行且相等，同時至多只有一個點共用，所以情況 3 成立

綜上，只需要讓 x 坐標為 i ，y 坐標為 g^i%P 即可，至于原根 g ，可以根據其定義暴力求解

代碼：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+100;bool vis[N];int find_root(int mod) {for(int i=2;i<mod;i++){memset(vis,false,sizeof(vis));bool flag=true;int x=i;for(int j=1;j<=mod-1;j++){if(vis[x]){flag=false;break;}vis[x]=true;x=x*i%mod;}if(flag)return i;} }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("input.txt","r",stdin); // freopen("output.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){int n;scanf("%d",&n);int mod=n+1;int rt=find_root(n+1);int x=rt;for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d %d\n",i,x);x=x*rt%mod;}}return 0; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的美团杯2020 - 平行四边形(原根)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。