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題目大意：

蒜斜剛來PKU的時候還不知道有“北大算協”這個社團，因此他總是覺得周圍的人在偷偷議論著他，比如說：

“算協（注：非蒜斜）舉辦的活動好有趣啊！”

“算協（注：非蒜斜）好帥啊！”

蒜斜每次聽到這些話就會想入非非，但仔細想想，自己好像也沒有那么帥吧？最離譜的一次還是：

“算協（注：非蒜斜）有好多小哥哥”（霧）

自從蒜斜學習了半前綴之后，他把這些話都看開了 —— 對他來說，只要這些話里有 “蒜斜好” 的半前綴就足夠了。

題目描述

設小寫字母字符串?s, 長度為?n,?s[l:r] 表示第?l?個到第?r?個字符構成的子串,?l>r 時對應空串。

定義半前綴是?s[1:i]+s[j:k], 其中?0≤i<len(s),i<j≤len(s),j?1≤k≤len(s)。直觀上來說，你可以把半前綴理解成某一個前綴?s[1:k]刪除掉某一個子串后形成的結果（當然也允許不刪）。

給出字符串?ss，你需要求出?ss?的所有半前綴中，有多少個不同的字符串。

輸入格式

輸入一行包含一個小寫字符串?s(1≤|s|≤106)。

輸出格式

輸出一行一個整數，表示答案。

樣例一

input

aab

output

6

explanation

字符串?aab?的半前綴有：空串，a，b，aa，ab，aab。

樣例二

input

pkusaamtcup

output

217

限制與約定

Small Task:?|s|≤3000。

Large Task:?|s|≤106。

時間限制：2s

空間限制：512MB

題目分析：讀完題后第一反應就是后綴自動機，但是需要猜結論或者變形，然后就止步于此了

賽后看了jls的講題視頻豁然開朗，感覺這個題目太妙了

首先因為題目規定的半前綴是一個前綴與一個子串拼接而成，對于每個半前綴而言，肯定有很多的拼接方法，如果不加以約束的話，很容易重復統計，對于每個半前綴 s[ 0 : i ] + s[ j : k ] 我們只計算 i 最大的那個半前綴這樣就能做到不重不漏了

該如何確定某個半前綴已經是 i 最大的呢，一個必要條件是 s[ i + 1 ] != s[ j ] ，這個比較容易看出來，因為如果 s[ i + 1 ] == s[ j ] 的話，那么顯然 s[ 0 : i + 1 ] + s[ j + 1 : k ] 是一個比 i 更靠后的半前綴，所以必要性成立

接下來證明一下充分性，假設有更靠后的一個半前綴 s[ 0 : i' ] + s[ j' : k' ] 滿足 i < i' ，因為?s[ 0 : i ] + s[ j : k ] ==?s[ 0 : i' ] + s[ j' : k' ] ，所以 s[ i + 1 : i' ] == s[ j?: j?+ [一段區間] ] ，即 s[ i + 1 ] == s[ j ] ，與上面的結論相悖，所以證明了充分性

綜上，s[ i + 1 ] != s[ j ] 是?s[ 0 : i ] + s[ j : k ] 作為最后一次出現的半前綴的重分必要條件

那么接下來我們只需要枚舉 i ，然后統計 s[ i + 1 : k ] 中有多少個首字母不為 s[ i + 1 ] 的本質不同子串即可

然后用后綴自動機解決就好了，因為要統計的區間實際上為 [ i + 1 , n ] ，所以我們可以倒著插入字符串，因為字符串在翻轉之后，本質不同的子串個數是不變的，每次插入后利用 last 指針更新 cnt 數組，cnt[ j ] 表示截止到目前為止，首字母為 j 的本質不同子串有多少個，將答案累加就好了

最后需要注意的是，初始化為賦值為 n + 1 ，這里的 1 是指空串，而 n 是指形如 [ 1 , 1 ] + 空串，[ 1 , 2 ] + 空串, [ 1 , 3 ] + 空串... + ?[ 1 , n ] + 空串 ，這樣的半前綴，因為后綴自動機無法統計空串的個數，所以需要我們自己手動計算上空串的貢獻

代碼：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;char s[N];LL cnt[26];int tot=1,last=1;struct Node {int ch[26];int fa,len; }st[N<<1];void add(int x) {int p=last,np=last=++tot;st[np].len=st[p].len+1;while(p&&!st[p].ch[x])st[p].ch[x]=np,p=st[p].fa;if(!p)st[np].fa=1;else{int q=st[p].ch[x];if(st[p].len+1==st[q].len)st[np].fa=q;else{int nq=++tot;st[nq]=st[q]; st[nq].len=st[p].len+1;st[q].fa=st[np].fa=nq;while(p&&st[p].ch[x]==q)st[p].ch[x]=nq,p=st[p].fa;//向上把所有q都替換成nq}} }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("input.txt","r",stdin); // freopen("output.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);scanf("%s",s);int n=strlen(s);LL ans=n+1;for(int i=n-1;i>=0;i--){add(s[i]-'a');cnt[s[i]-'a']+=st[last].len-st[st[last].fa].len;for(int j=0;j<26;j++)if(s[i]-'a'!=j)ans+=cnt[j];}printf("%lld\n",ans);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的美团杯2020 - 半前缀计数(后缀自动机)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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