第3.1講 二次曲面方程和曲線方程

本講是空間解析幾何中的曲面和曲線方程，要求掌握二次曲面的生成方法和畫圖。

文章目錄

• 第3.1講 二次曲面方程和曲線方程
• 學習要點
• 一、二次曲面方程
• • 1、球面方程
  • 2、柱面方程：缺少一個變量
  • 3、旋轉曲面（旋轉）
  • 4、二次曲面（旋轉后拉伸變形）
  • • （1）橢圓錐面
    • （2）橢球面
    • （3）單葉雙曲線
    • （4）雙葉雙曲面
    • （5）橢圓拋物面/雙曲拋物面
• 二、<曲面方程>考點題型
• • 1、題型1：旋轉運動寫曲面方程【解法：掌握旋轉、變形對應的方程變化形式】
  • 2、題型2：已知曲面方程畫幾何圖形【解法：熟悉典型函數對應的運動軌跡】
• 二、曲線方程
• • 1、曲線的一般方程（曲面相交）
  • 2、曲線的參數方程
  • 3、曲面的參數方程
  • 4、曲線在曲面上的投影
• 三、<曲線方程>考點題型
• • 1、曲線題型1：根據曲線一般方程畫圖【解法：熟悉柱面球面平面方程】
  • 2、曲線題型2： 一般方程與參數方程轉化【解法：利用三角函數】
  • 3、曲線題型3：旋轉曲面參數方程求法【解法：利用三角函數和截面法中的旋轉關系】
  • 4、曲線題型4：曲線投影方程求解【解法：消元后柱面】

學習要點

1、本章的核心問題是會根據曲面/曲線方程畫圖。
1、曲面方程兩個題型：已知軌跡運動求曲面方程；已知方程畫圖形；
2、運動軌跡中，平面曲線L 繞z軸旋轉運動時，z不變，y變成 +/- sqrt(x²+y²)。注意方程的變化。
3、在已知方程畫圖形題型中，有兩種方法：平面截痕法、旋轉變形法。
4、曲線方程有四個題型。

一、二次曲面方程

方程F(x,y,z)=0如果是三元二次方程，稱為二次曲面，如球面x²+y²+z²=R²。平面稱為一次曲面如x+ y -z +2=0。

1、球面方程

根據兩點距離公式容易得出球面方程：（x-a）²+(y-b)²+(z-c)²=R²。一般表達式為 Ax²+Ay²+Az²+Dx+Ey+Fz+G=0。可以看出球面方程的特點：平方項系數相同、無交叉項。通過配方法可以得出其標準形式。

2、柱面方程：缺少一個變量

F(x,y)=0 表示母線平行于z的柱面，準線為 平面曲線C:F(x,y)=0.

3、旋轉曲面（旋轉）

平面曲線繞其平面上一條直線旋轉一周，稱為旋轉曲面，其中定直線為軸，動曲面為母線。

4、二次曲面（旋轉后拉伸變形）

（1）橢圓錐面

采用截痕法判斷曲面形狀。

（2）橢球面

用平面截痕法進行分析。

也可以用運動軌跡法分析其圖形。把xOz平面上橢圓x²/a² + z²/c²=1 繞z軸旋轉，得到x²+y²)/a² +z²/c²=1，然后做拉伸變形y1 = b/a * y，帶入之后得到橢球面。

（3）單葉雙曲線

雙曲線先繞z軸旋轉，再在y軸方向上做伸縮變形，得到單葉雙曲線。

（4）雙葉雙曲面

（5）橢圓拋物面/雙曲拋物面

二、<曲面方程>考點題型

1、題型1：旋轉運動寫曲面方程【解法：掌握旋轉、變形對應的方程變化形式】

2、題型2：已知曲面方程畫幾何圖形【解法：熟悉典型函數對應的運動軌跡】

二、曲線方程

1、曲線的一般方程（曲面相交）

2、曲線的參數方程

3、曲面的參數方程

利用z軸方向平面截面中，旋轉形成的圓周關系。

4、曲線在曲面上的投影

曲線在坐標面上的投影，在重積分、曲面積分中會用到。

三、<曲線方程>考點題型

1、曲線題型1：根據曲線一般方程畫圖【解法：熟悉柱面球面平面方程】

2、曲線題型2： 一般方程與參數方程轉化【解法：利用三角函數】

技巧解法： 利用三角函數

3、曲線題型3：旋轉曲面參數方程求法【解法：利用三角函數和截面法中的旋轉關系】

4、曲線題型4：曲線投影方程求解【解法：消元后柱面】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数分下第5讲（8.3节） 二次曲面方程和曲线方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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