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數據范圍

解法

令f(n)=∑ni=1i，g(n)=∑ni=1i2
易得ans=∑ni=1∑mj=1f(n?i+1)?f(m?j+1)
等價于ans=∑ni=1∑mj=1f(i)?f(j)
顯然f(n)=n?(n?1)/2；
拆開得ans=14∑ni=1∑mj=1i?(i+1)?j?(j+1)
再得

ans=14∑i=1ni?(i+1)?∑j=1mj?(j+1)=14∑i=1n?(f(i)+g(i))?∑j=1m?(f(j)+g(j))
其中g(n)=16n(n+1)(2n+1)

---

時間復雜度為O(log)，逆元有復雜度。

代碼

#include<iostream> #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<algorithm> #define ll long long #define ln(x,y) ll(log(x)/log(y)) #define sqr(x) ((x)*(x)) using namespace std; const char* fin="loop.in"; const char* fout="loop.out"; const ll inf=0x7fffffff; const ll mo=1000000007; ll n,m,i,j,k,l,tmp,tmd,num,ans; ll qpower(ll a,ll b){ll c=1;while (b){if (b&1) c=a*c%mo;a=a*a%mo;b>>=1;}return c; } ll N(int a){return qpower(a,mo-2); } ll sum(ll st,ll num){st%=mo;num%=mo;ll en=(st+num-1)%mo;return (st+en)%mo*num%mo*N(2)%mo; } ll xsum(ll n){n%=mo;return n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*N(6)%mo; } ll count(ll v){return (sum(1,v)+xsum(v))%mo; } int main(){freopen(fin,"r",stdin);freopen(fout,"w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);ans=count(n)*count(m)%mo*N(4)%mo;printf("%lld",ans);return 0; }

啟發

∑的運算性質

1.∑(a+b)=∑a+∑b
2.∑a∑ba?b=∑aa?∑bb
3.∑ik?f(i)=k?∑f(i)

∑ni=1i2公式

∑ni=1i2=16n(n+1)(2n+1)
證明：
利用數學歸納法檢驗。
設g(n)=∑ni=1i2；
先有

g(1)=16?1?2?3=1=∑i=1ni2
如果g(x)滿足g(x)=16x(x+1)(2x+1)；
則g(x+1)=16x(x+1)(2x+1)+(x+1)2=16(x+1)(6x+6+x(2x+1))=16(x+1)(2x2+7x+6)=16(x+1)(x+2)(2x+3)=16(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]
綜上得證。

轉載于:https://www.cnblogs.com/hiweibolu/p/6714869.html

總結

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