繼續是線性代數的學習筆記，這次的筆記包含第四、五、六節三節課的內容。

第四節課是介紹A的LU分解。A的LU分解是指將矩陣A分解成一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。其主要應用在數值分析中，用來解線性方程、求反矩陣或者計算行列式。

第五節課是介紹轉置-置換-向量空間，介紹了轉置矩陣，置換矩陣以及向量空間的基本概念。

第六節課是介紹列空間和零空間，介紹了向量空間中的兩種空間–列空間和零空間。

乘積的逆

首先是介紹如何求解兩個矩陣乘積的逆。

假設矩陣A和B都是可逆矩陣，也就是有AA?1=BB?1=I，則兩者的乘積(AB)(B?1A?1)=I,同理也有B?1A?1AB=I。

另外如果AA?1=I，則對A,A?1轉置，有(A?1)TAT=I，也就是說矩陣A轉置的逆矩陣等于逆矩陣A?1的轉置。

A的LU分解

要實現對矩陣A的LU分解，首先需要將A通過初等行交換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。

比如，有一個矩陣A=[2817],那么其變換矩陣為E21=[1?401],既有如下所示：

E21A=[1?401][2817]=[2013]=U
從而有 A=LU??>[2817]=[1401][2013]

也就是說這里得到的下三角矩陣L其實是變換矩陣E21將其第二行第一列的元素取正值后的矩陣。

而如果矩陣A是一個3×3的矩陣，也是同樣的道理，先使用初等行變換變成一個上三角矩陣，而這里需要讓矩陣A的元素a21、a31以及a32都變為0，所以變換矩陣分別是E21、E31和E32,即有

E32E31E21A=U

所以有：

A=E?121E?131E?132U=LU

此外，對于A=LU,如果不存在行交換，則消元系數可以直接寫在L中。就如上述第一個例子中得到的矩陣L=[1401]，其中的l21=4就是消元的系數。

置換矩陣

置換矩陣就是行重新排列了的單位矩陣，記作P，它可以完成行互換。

對任意可逆的矩陣A,有PA=LU。

一個n×n的置換矩陣的可能個數為n!=n(n?1)?2?1。

最后對于置換矩陣，有一個性質，即P?1=PT,即置換矩陣的逆矩陣就是置換矩陣的轉置矩陣。所以也有PTP=I。

轉置

轉置符號用T表示，其公式為(A)Tij=Aji。

一個對稱的矩陣有AT=A,比如矩陣???317129794???就是一個對稱矩陣，也滿足這個性質。

更進一步有對于矩陣A=RTR，則A必然是對稱的。

令矩陣R=[132341],有RTR=???124331???[132341]=???1011711131171117???

這里可以通過再對該式子求轉置來驗證，即(RTR)=RTR。

向量空間R

向量空間是包括許多向量的空間。

R2表示的是所有的二維實向量組成的空間，并且默認是列向量，例如[32],[00],[πe]。

同理，R3表示的就是所有三維實向量組成的空間，Rn就是所有n維實向量組成的空間。

向量空間必須滿足的條件是對數乘和加法，或者對線性組合是封閉的。也就是說在向量空間內的任意向量，其加上同一空間另一個向量所得到的向量必須也存在該向量空間內，并且其乘以任何一個數得到的向量也存在該向量空間內。

對于子空間，在R2內的子空間有3種，包括R2本身，還有就是過原點的直線，以及零向量。

而R3內的子空間則有4種，包括R3，零向量，過原點的平面和直線。

對于在R3內的兩個子空間P和L,其并集，即P?L并不是一個子空間，但是其交集P?L則是R3的子空間。

列空間

假設有一個矩陣A,其列空間是由其各列的線性組合構成的，記作C(A)。

設A=?????123411112345?????,對于Ax=b,對任意的b并不總是有解的。

只有滿足當且僅當向量b是A各列的線性組合，即存在于C(A)中，才總是有解的。這是因為A的列空間是包含A各列的所有線性組合的。

零空間

矩陣A的零空間N(A)=滿足Ax=0的解，即向量x。

利用上述給定的矩陣A,有Ax=?????123411112345????????x1x2x3???=?????0000?????,則其中一個解必定是零向量???000???,即零向量肯定是存在零空間的，而繼續研究可以知道還有滿足如???11?1???,???22?2???,也就是形如???cc?c???,其中c是任意實數，也就是這是一個R3空間中的一條過原點的直線。

下面證明Ax=0的解總是構成一個子空間。

如果Av=0,Aw=0,那么則有A(v+w)=Av+Aw=0，也就是如果向量v,w在零空間，則v+w也是在零空間的。同理可證明如果Av=0,有A(cv)=0，其中c是一個任意實數。

小結

本節內容首先是介紹了矩陣A的LU分解以及其解法，然后介紹了置換矩陣，轉置，向量空間，包括列空間和零空間在內的基本概念。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[线性代数]Note4--A的LU分解转置-置换-向量空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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