建模

牛頓法

有空再寫(xiě)

拉格朗日方程法

首先我們先確定廣義坐標(biāo)，并同時(shí)計(jì)算出來(lái)擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

接著列拉格朗日方程

計(jì)算動(dòng)能（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）

?計(jì)算勢(shì)能（取鉸鏈處為零勢(shì)能高度）：

?計(jì)算L

計(jì)算拉格朗日方程中的中間量?

?將上述的中間量帶入拉格朗日方程，得到動(dòng)力學(xué)模型：

變換一下形式：

?當(dāng)角度較小時(shí)

我們可以假設(shè)角度比較小，因?yàn)榭刂埔话愣际窃谄胶恻c(diǎn)附近。

這時(shí)，然后得出下面的狀態(tài)空間方程。

當(dāng)角度較大時(shí)

經(jīng)常情況下角度沒(méi)有那么小，這個(gè)時(shí)候我們就不能假設(shè)，所以就得到非線(xiàn)性的控制系統(tǒng)。

所以這個(gè)時(shí)候我們這樣操作，將這個(gè)二階微分方程轉(zhuǎn)化成一階微分方程組，這樣就可以用matlab的ode45微分方程求解器求取數(shù)值解，求得的數(shù)值解即為系統(tǒng)狀態(tài)?y。然后得到系統(tǒng)狀態(tài)之后，控制器基于當(dāng)前狀態(tài)計(jì)算輸入，再施加給執(zhí)行器進(jìn)行控制。

?matlab仿真

?我們先把微分方程求解器做出來(lái)：

直接把g=9.8，l=1和u=0帶入式子；

[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');function dy = odeBai(t,y)dy = zeros(2,1);dy(1) = y(2);dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1))+0; end

從圖片也可能看出規(guī)律：

這下，我們就求出來(lái)了位置（角度）時(shí)間曲線(xiàn)和速度（角速度）時(shí)間曲線(xiàn)。

然后，我們做一個(gè)控制器，把輸入加上去。

控制器代碼：

總程序代碼：

clear all; clc;[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');function dy = odeBai(t,y)dy = zeros(2,1);tau = PIDController(t,y);dy(1) = y(2);dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1); endfunction tau=PIDController(t,y) % 目標(biāo)狀態(tài) y1_desire = pi/4; y2_desire = 0; % 控制增益 Kp = 1000; Kd = 500; % 控制力矩 tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2)); end

仿真圖像如下：可以彈道藍(lán)線(xiàn)逐漸逼近pi/4即45度的位置，而橙線(xiàn)從較大的值趨于0，即速度最終為0.?

代碼：

clear all; clc;global m l g m = 1; l = 1; g = 9.8;[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[-1;0]); figure(1); plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');figure(2); x0=0; y0=0;v = VideoWriter('Pen.avi'); open(v);for k=1:200:size(t)x1=l*cos(y(k,1));y1=l*sin(y(k,1));link1_x=[0,x1];link1_y=[0,y1];line(link1_x,link1_y,'linewidth',2,'color','b')axis equalaxis([-1.55 1.55 -1.55 0.55])grid on;hold on;plot(x0,y0,'o','linewidth',2,'color','r');frame = getframe(gcf);writeVideo(v,frame);clf; end close(v);function dy = odeBai(t,y)dy = zeros(2,1);tau = PIDController(t,y);dy(1) = y(2);dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1); endfunction tau=PIDController(t,y) % 目標(biāo)狀態(tài) y1_desire = -pi/4; y2_desire = 0; % 控制增益 Kp = 1000; Kd = 500; % 控制力矩 tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2)); end

參考鏈接

1.matlab動(dòng)力學(xué)建模與simscape驗(yàn)證(代碼) - 嗶哩嗶哩

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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