* 有限元方法——介紹 有限元方法是數值求解偏微分方程邊值問題的一種方法，此方法首先于20世紀50年代初由工程師提出，并用于求解簡單的結構問題。有限元方法是這一種系統的數值方法，并奠定其數學基礎，是在60年代中期以馮康先生為代表的中國學者與西方學者獨立并行完成的。 有限元方法不同于差分方法，主要有以下三大特點： (1)從數學物理問題的變分原理出發，而不是從微分方程出發，因此事從問題的整體描述而不是從問題的局部描述出發。 (2)對所考慮問題的區域(以二維情形為例)作三角形(或其他簡單多邊形)剖分，而不是僅作矩形剖分。 (3)用剖分區域上的簡單函數(如分片多項式)去逼近原問題的解，而不是只在剖分節點上的數值逼近。 * 有限元方法——一維邊值問題算例 用有限元方法求解如下一維邊值問題： 解：一維邊值問題線性有限元數值解法的MATLAB程序如下： %線性有限元方法 %參數設置 N=10; X=0:1/(N+1):1; b=zeros(N+1,1); A=zeros(N+1,N+1); for i=2:N+1 F1=@(x)2*(N+1)*(x-X(i-1)).*sin(pi*x/2);%句柄函數 R1=quad(F1,X(i-1),X(i)); F2=@(x)2*(N+1)*(X(i+1)-x).*sin(pi*x/2); R2=quad(F2,X(i),X(i+1)); b(i-1)=R1+R2; * end F1=@(x)1.*sin(pi*x/2); b(N+1)=quad(F1,X(N+1),X(N+2)); %quad:數值積分 %適應度矩陣 a11=(N+1)+(pi^2)/(12*(N+1)); a12=-(N+1)+(pi^2)/(24*(N+1)); for i=1:N A(i,i)=2*a11; A(i,i+1)=a12; A(i+1,i)=a12; end A(N+1,N+1)=a11; %得到初始數值解 %解方程Ax=b c=A\b; x=vertcat(0,c);%垂直串聯矩陣 y=4/(pi^2)*sin(pi*X/2); y=y'; Error=x-y; %繪制圖像 figure(1); 有限元方法——一維邊值問題算例 * grid on; plot(X,y,'ro-',X,x,'b^'); title('Numerical solutions vs Accurate solutions'); legend('Accurate solutions','Numerical solutions',0);%添加圖例 如圖所示為數值解與解析解的比較，可知有限元方法對這個一維邊值問題是比較好的。 有限元方法——一維邊值問題算例 * MATLAB的pedpe函數——pedpe函數的說明 MATLAB軟件提供了pdepe函數，該函數不但可以用來求解偏微分方程，也可以用來求解偏微分方程組，函數的調用格式為： 輸入的參數中 @pdefun是偏微分方程的描述函數，方程必須具有如下形式 函數pdefun由用戶自己編寫，函數形式為： 其輸出的c,f,s即為式(1)中的三個已知函數c,f,s,它們也可以是向量值函數，x,t,u與方程(1)中的參數意義相同，du表示的是u對x的一階倒數。 (1) * MATLAB的pedpe函數——pedpe函數的說明 @pdebc是偏微分方程的邊界條件描述函數，函數必須具有如下形式： 函數pdebc由用戶自己編寫，函數形式為： 其中是xa,xb,ua,ub分別表示變量x,u的下邊界和上邊界。 @pdeic是偏微分方程的初始條件描述函數，函數必須具有如下形式： 函數pdeic由用戶自己編寫，函數形式如下： 函數pdepe中的m即為方程(1)中的m。x,t是偏微分方程的自變量，它們一般是多維向量。 輸出的sol是一個三維數組，sol(i,j,k)表示的是自變量分別取x(i),t(j)時u(k)的值。由sol可以直接通過pdeval()某個點的函數值。 * MATLAB的pedpe函數——pedpe函數的實例 求解偏微分方程組 (2) 解：分別編寫pdefun函數、pdebc函數、pdeic函數： * MATLAB的pedpe函數——pedpe函數的實例 %% 目標PDE函數 function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) c=[1;1]; f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2); s=[-1;1].*(exp(5.7

總結

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