數論基礎

• 整除
• • 整除定義
  • 整除性質
  • 約數（因數）定義
  • 約數（因數）性質
• 數論函數
• 積性函數
• • 定義
  • 性質

一些前置芝士和定義。

數論（number theory ），是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。——百度百科

NOIP包含的數論僅有初等數論。高等數論是人學的？（暴論）

整除

整除定義

設 $a,b\in Z,a=0$。如果 $?q\in Z$，使得 $b=aq$，那么就說 $b$ 可被 $a$ 整除，記作 $a\mid b$，且稱 $b$ 是 $a$ 的倍數，$a$ 是 $b$ 的約數（因數），反之，則記作 $a?b$。

整除性質

• $a\mid b??a\mid b?a\mid ?b?|a|\mid |b|$

• $a\mid b\wedge b\mid c?a\mid c$

• $a\mid b\wedge a\mid c??x,y\in Z,a\mid xb+yc$

• $a\mid b\wedge b\mid a?b=\pm a$

• 設 $m=0$，那么 $a\mid b?ma\mid mb$

• 設 $b=0$，那么 $a\mid b?|a|\le |b|$

• 設 $a=0,b=qa+c$，那么 $a\mid b?a\mid c$。

約數（因數）定義

顯然約數（顯然因數）：對于整數 $b=0,\pm 1,\pm b$ 是 $b$ 的顯然約數，其他約數稱為真約數（真因數，非顯然約數，非顯然因數）

約數（因數）性質

設整數 $b=0$。當 $d$ 遍歷 $b$ 的全體約數的時候，$\frac{b}{d}$ 也遍歷 $b$ 的全體約數。

若 $b>0$。當 $d$ 遍歷 $b$ 的全體正約數的時候，$\frac{b}{d}$ 也遍歷 $b$ 的全體正約數。

數論函數

數論函數指定義域為正整數的函數。數論函數也可以視作一個數列。

積性函數

定義

若函數 $f(n)$ 滿足 $f(1)=1$ 且 $?x,y\in N_{+},gcd(x,y)=1$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，則 $f(n)$ 為積性函數。

若函數 $f(n)$ 滿足 $f(1)=1$ 且 $?x,y\in N_{+}$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，則 $f(n)$ 為完全積性函數。

性質

若 $f(x),g(x)$ 均為積性函數，則以下函數也為積性函數：

$h(x)=f(x^p)$
$h(x)=f^p(x)$
$h(x)=f(x)g(x)$
$h(x)={\Sigma }_{d\mid x}f(d)g(\frac{x}{d})$

設 $x=\Pi p_i^{k_i}$

若 $F(x)$ 為積性函數，則有 $F(x)=\Pi F(p_i^{k_i})$。

若 $F(x)$ 為完全積性函數，則有 $F(x)=\Pi F(p_i{)}^{k_i}$。

還有一些就在專題里說明吧。

總結

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