生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
数学公式（一）
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
數學公式（一）
不等式
- 基本不等式拓展：2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22(當且僅當a=b時取“=”號)\frac{{2ab}}{{a+b}} \le \sqrt{{ab}} \le \frac{{a+b}}{{2}} \le \sqrt{{\frac{{a\mathop{{}}\nolimits^{{2}}+b\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}}{{2}}}} \left( \text{當}\text{且}\text{僅}\text{當}a=b\text{時}\text{取}\text{“}=\text{”}\text{號} \right)a+b2ab?≤ab?≤2a+b?≤2a2+b2??(當且僅當a=b時取“=”號)
- 均值不等式： Hn=n∑i=1n1xi=n1x1+1x2+?+1xn(調和平均數)Gn=∏i=1nxin=x1x2?xnn(幾何平均數)An=1n∑i=1nxi=x1+x2+?+xnn(算術平均數)Qn=∑i=1nxi2=x12+x22+?+xn2n(平方平均數)Hn≤Gn≤An≤QnH_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}}(調和平均數)\\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}(幾何平均數)\\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n}(算術平均數)\\ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}}(平方平均數)\\ \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}Hn?=i=1∑n?xi?1?n?=x1?1?+x2?1?+?+xn?1?n?(調和平均數)Gn?=ni=1∏n?xi??=nx1?x2??xn??(幾何平均數)An?=n1?i=1∑n?xi?=nx1?+x2?+?+xn??(算術平均數)Qn?=i=1∑n?xi2??=nx12?+x22?+?+xn2???(平方平均數)Hn?≤Gn?≤An?≤Qn?
參考調和平均數-幾何平均數-算術平均數-平方平均數的4種經典證明 - 柯西不等式： (∑k=1nakbk)???2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^{\!\!2}\leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) (k=1∑n?ak?bk?)2≤(k=1∑n?ak2?)(k=1∑n?bk2?)
- 絕對值不等式： ∣a∣?∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\left| a \left| - \left| b \left| \le \left| a+b \left| \le \left| a \left| + \left| b \right| \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. ∣a∣?∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
- 排序不等式：設a1≤a2≤?≤ana_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_na1?≤a2?≤?≤an?和b1≤b2≤?≤bnb_1\leq b_2 \leq \cdots \leq b_nb1?≤b2?≤?≤bn?,c1,c2?cnc_1,c_2 \cdots c_nc1?,c2??cn?為b的任意序列，則有：a1bn+?+anb1≤a1c1+?+ancn≤a1b1+?+anbna_1b_n+\cdots +a_nb_1 \leq a_1c_1+\cdots +a_nc_n \leq a_1b_1+\cdots + a_nb_na1?bn?+?+an?b1?≤a1?c1?+?+an?cn?≤a1?b1?+?+an?bn?
即逆序和≤\leq≤亂序和≤\leq≤正序和 - 伯努利不等式 :
若a>0,n>1,則有\text{若}a > 0,n > 1,\text{則}\text{有}若a>0,n>1,則有
an>1+n(a?1)(1)\mathop{{a}}\nolimits^{{n}} > 1+n{ \left( {a-1} \right) } \tag {1}an>1+n(a?1)(1)
當a=b1n,b>1時，有\text{當}a=\mathop{{b}}\nolimits^{{\frac{{1}}{{n}}}},b > 1\text{時}\text{，}\text{有}當a=bn1?,b>1時，有
b1n?1<b?1n(2){\mathop{{b}}\nolimits^{{\frac{{1}}{{n}}}}-1 < \frac{{b-1}}{{n}}} \tag{2}bn1??1<nb?1?(2)
級數
- 歐拉公式：eiθ=cos?θ+isin?θe^{i\theta }=\cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
特別的當θ=π時：\theta = \pi 時：θ=π時： eiπ+1=0e^{i\pi} + 1=0eiπ+1=0
證明：
級數
- f(x),g(x)在[a,b]f(x),g(x)在[a,b]f(x),g(x)在[a,b]連續： [∫abf(x)g(x)dx]2?∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx\left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrmozvdkddzhkzd x\right]^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd x[∫ab?f(x)g(x)dx]2?∫ab?f2(x)dx∫ab?g2(x)dx
證明：若f(x)≡0f(x)\equiv 0f(x)≡0 顯然成立
若f(x)≡?0f(x)\not\equiv 0f(x)?≡0 則∫abf2(x)dx>0\int_{a}^{b}f^2(x)dx>0∫ab?f2(x)dx>0，令φ(t)=∫ab[tf(x)+g(x)]2dx=t2∫abf2(x)dx+2t∫abf(x)g(x)dx+∫abg2(x)dx\varphi(t)=\int_{a}^{b}[t f(x)+g(x)]^{2} \mathrmozvdkddzhkzd x=t^{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd x+2 t \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrmozvdkddzhkzd x+\int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd xφ(t)=∫ab?[tf(x)+g(x)]2dx=t2∫ab?f2(x)dx+2t∫ab?f(x)g(x)dx+∫ab?g2(x)dx
則φ(t)\varphi(t)φ(t)為二次多項式，在R上滿足φ(t)?0\varphi(t) \geqslant 0φ(t)?0則Δ=b2?4ac=[2∫abf(x)g(x)dx]2?4∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx?0\Delta =\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac=\left[2\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrmozvdkddzhkzd x\right]^{2} -4 \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrmozvdkddzhkzd x\leqslant 0Δ=b2?4ac=[2∫ab?f(x)g(x)dx]2?4∫ab?f2(x)dx∫ab?g2(x)dx?0 - 若∫abf(x)dx=1\int_{a}^{b}f(x)dx=1∫ab?f(x)dx=1則有：[∫alxf(x)dx]2=[∫abxf(x)?f(x)dx]2?∫abx2f(x)dx?∫abf(x)dx=∫abx2f(x)dx\left[\int_{a}^{l} x f(x) \mathrmozvdkddzhkzd x\right]^{2}=\left[\int_{a}^{b} x \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{f(x)} \mathrmozvdkddzhkzd x\right]^{2} \leqslant \int_{a}^{b} x^{2} f(x) \mathrmozvdkddzhkzd x \cdot \int_{a}^{b} f(x) \mathrmozvdkddzhkzd x=\int_{a}^{b} x^{2} f(x) \mathrmozvdkddzhkzd x[∫al?xf(x)dx]2=[∫ab?xf(x)??f(x)?dx]2?∫ab?x2f(x)dx?∫ab?f(x)dx=∫ab?x2f(x)dx
參考
- 高中數學不等式選講，最全的不等式知識總結
- LaTeX在線:吳文中 數學公式編輯器
- Latex：代數【大學常用公式】
- 復變函數——歐拉公式
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学公式（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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