文章目錄

• 一、線性表的定義和基本操作
• • 線性表
  • 順序表
  • • 1.插入操作
    • 2.刪除操作
    • 3.按值查找（順序查找）
• 二、單鏈表
• • • 1. 頭插法
    • 2. 尾插法
    • 3. 按序號查找
    • 4. 按值查找
    • 5. 插入結點
    • 6. 刪除結點
    • 7. 求表長
• 三、 雙鏈表
• • • 1. 插入
    • 2. 刪除
• 四、循環鏈表
• 五、靜態鏈表
• 六、順序表和鏈表的比較
• 七、特殊矩陣的壓縮儲存
• • 數組的定義
  • 數組的存儲結構
  • 矩陣的壓縮存儲
  • • 1. 對稱矩陣
    • 2. 三角矩陣
    • 3. 三對稱矩陣（帶狀矩陣）
    • 4. 稀疏矩陣
• 八、廣義表
• • 廣義表的定義
  • 廣義表的操作

一、線性表的定義和基本操作

線性表

線性表是具有相同數據類型的n個數據元素的有限序列，其中n為表長，n=0是為一個空表。除第一個元素外，每一個元素有且僅有一個直接前驅，除最后一個元素外，每一個元素有且僅有一個直接后驅。

順序表

線性表的順序存儲稱為順序表，是用一組地址連續的存儲單元一次存儲線性表中的數據結構，從而使得邏輯上相鄰的兩個元素在物理位置上也相鄰。
線性表的位序是從1開始的，而數組元素的下標從0開始。

1.插入操作

最好情況：表尾插入，時間復雜度O(1)
最壞情況：表頭插入，時間復雜度O(n)
平均情況：n/2
平均時間復雜度：O(n)

2.刪除操作

最好情況：刪除表尾元素，時間復雜度O(1)
最壞情況：刪除表頭元素，時間復雜度O(n)
平均情況：(n-1)/2
平均時間復雜度：O(n)

順序表插入和刪除的時間主要耗費在移動元素上，而移動元素的個數取決于插入刪除元素的位置。

3.按值查找（順序查找）

最好情況：查找的元素在表頭，時間復雜度O(1)
最壞情況：查找的元素在表尾或不存在，時間復雜度O(n)
平均情況：(n+1)/2
平均時間復雜度：O(n)

二、單鏈表

線性表的鏈式存儲又稱單鏈表，指通過一組任意的存儲單元來存儲線性表中的數據元素。對每個鏈表結點，除存放元素自身信息外，還需要存放一個指向其后繼節點的指針。
利用單鏈表可以解決順序表需要大量連續存儲單元的缺點，但單鏈表附加指針域，存在浪費空間的缺點。由于單鏈表的元素離散地分布在存儲空間中，所以單鏈表是非隨機存取的存儲結構。

如果要訪問某個結點的前去前驅結點，只能從頭開始遍歷。

頭節點：在單鏈表的第一個結點前附加一個結點。頭結點可以不設任何信息，也可以記錄表長等信息。引入頭結點可以帶來兩個優點：

鏈表的第一個位置的操作可以和其他位置相統一。

無論鏈表是否為空，其頭指針都指向頭結點，因此空表和非空表的操作得到統一。

1. 頭插法

將新結點插入當前鏈表的表頭，即頭結點之后。
讀入數據的順序和生成鏈表中的元素順序是相反的，總時間復雜度為O(n)

2. 尾插法

增加一個尾指針，使其始終指向當前鏈表的尾結點。可使導入數據和鏈表元素的順序一致，總時間復雜度為O(n)。

3. 按序號查找

時間復雜度O(n)

4. 按值查找

時間復雜度O(n)

5. 插入結點

插入結點的代碼片段如下

p = getElem(L, i-1); // 移動到插入位置前一個結點 s->next = p->next; p->next = s;

算法時間開銷主要在于查找第i-1個元素，時間復雜度為O(n)；如果在給定結點后插入，時間復雜度僅為O(1)。

6. 刪除結點

代碼片段如下

p = getElem(L, i-1); q = p->next; p->next = q->next; free(q); // 第二、三步順序不能顛倒

該算法的時間復雜度也耗費找查找操作上，時間復雜度為O(n)。

7. 求表長

時間復雜度O(n)

三、 雙鏈表

雙鏈表結點有兩個指針，分別指向其前驅結點和后繼結點。

1. 插入

在p所指結點之后插入*s

s->next = p->next; p->next->prior = s; s->prior = p; p->next = s; /// 第一、二步必須在第四步之前

2. 刪除

在p后刪除q

p->next = q->next; q->next->prior = p; free(q);

四、循環鏈表

將單鏈表最后一個結點的指針改為指向頭結點，形成循環單鏈表。判空條件是頭結點的指針是否指向自身。

循環單鏈表可以從表中任意一個結點開始遍歷整個鏈表。
有時單鏈表常用操作是在表頭和表尾進行的，此時不設頭指針而僅設尾指針。

五、靜態鏈表

借助數組來描述線性表的鏈式結構，結點也有數據域和指針域。與鏈表的指針不同，靜態鏈表的指針是結點的相對地址（數組下標），又稱游標。
靜態鏈表需要預先分配一塊連續的內存空間。

六、順序表和鏈表的比較

——————順序表鏈表

存取（讀寫）方式	既可以順序存取，也可以隨機存取	只能從表頭順序存取元素
邏輯結構與物理結構	邏輯上相鄰的元素，對應的物理存儲位置也相鄰	邏輯上相鄰的元素，物理存儲位置不一定相鄰，其對應的邏輯關系通過指針鏈接來表示
按值查找	順序表有序時，可采用折半查找，時間復雜度為$O(lo{g}_{2}n)$，若無序，時間復雜度為O(n)	時間復雜度為O(n)
按序號查找	順序表支持隨機訪問，時間復雜度僅為O(1)	時間復雜度為O(n)
插入、刪除	平均需要移動半個表長的元素	只需修改相關結點的指針域
空間分配	在靜態存儲分配情形，一旦存儲空間裝滿就不能擴充，加入新元素會導致內存溢出，因此需要預先分配足夠大的空間。但預先分配過大，會導致后部空間大量閑置；動態存儲分配雖然存儲空間可以擴充，但需要移動大量元素，導致操作效率降低，若內存沒有更大塊的連續存儲空間，則會導致分配失敗。	鏈式存儲的結點空間只需在需要是申請，只要內存有空間就可以分配，操作靈活、高效。

如何選取存儲結構：

• 基于存儲考慮：難以估計線性表的長度或存儲規模時，不宜采用順序表；鏈表實現不用估計存儲規模，但鏈表的存儲密度較低。
• 基于運算考慮：如經常做的運算時按序號訪問元素，則順序表優于鏈表；如經常進行插入、刪除操作，鏈表較優。
• 基于環境考慮：任何高級語言都有數組類型，順序表較容易實現；鏈表的操作是基于指針的。

通常，較穩定的線性表選擇順序存儲，而頻繁進行插入、刪除操作的線性表（動態性強）宜選擇鏈式存儲。

七、特殊矩陣的壓縮儲存

數組的定義

數組是由n（n $\ge$ 1）個相同類型的數據元素構成的有序序列。
每個元素在線性關系中的序號稱為該元素的下標，下標的取值范圍稱為數組的維界。
數組是線性表的推廣：一維數組可視為一個線性表，二維數組可視為其元素也是定長線性表的線性表。
數組一旦被定義。其維數和維界就不再改變，因此除初始化和銷毀外，數組只有存取元素和修改元素的操作。

數組的存儲結構

對于多維數組，有按行優先和按列優先兩種映射方法。

設二維數組$A_{h_1\times h_2}$的行下標和列下標范圍分別為$[l_1,h_1]，[l_2,h_2]$。
其按行優先存儲時，$$LOC(a_{i,j})=LOC(a_{l_1,l_2})+[(i?l_1)\times (h_2?l_2+1)+(j?l_2)]\times L$$其按列優先存儲時,$$LOC(a_{i,j})=LOC(a_{l_1,l_2})+[(j?l_2)\times (h_1?l_1+1)+(i?l_1)]\times L$$

矩陣的壓縮存儲

為多個值相同的元素只分配一個存儲空間，對零元素不分配存儲空間，目的是節省空間。

1. 對稱矩陣

將對稱矩陣A[1…n][1…n]存放在一維數組B[n(n+1/2)]中，只存放下三角部分的元素。

2. 三角矩陣

下三角矩陣中，上三角區的所有元素均為同一常量，其儲存思想與對稱矩陣類似，不同之處在于儲存完下三角區和主對角線上的元素后，在儲存上三角取的常量一次。

943 2019年選擇第9題默認矩陣下標從0開始

3. 三對稱矩陣（帶狀矩陣）

三對角線上的元素$a_{i,j}$在一維數組中的下標為k=2+3(i-1)+(j-i+1)-1=2i+j-1（數組和元素下標均從0開始）。

4. 稀疏矩陣

矩陣中非零元素個數遠小于矩陣元素的矩陣。
通常將非零元素及其相應的行和列構成一個三元組，然后按照一定規則儲存這些三元組。
稀疏矩陣壓縮存儲后便失去了隨機存儲的特性。

八、廣義表

c++中union關鍵字詳見

廣義表的定義

廣義表的操作

getHead()：獲得廣義表的第一個元素；
getTail()：獲得以廣義表出第一個元素外的其余元素構成的廣義表。

如：A=(a), B=(b,c,d)，C=(()),那么
getHead(A)=a, getHead(B)=b, getHead(C)=()
getTail(B)=(), getTail(B)=(c,d), getTail(C)=()

總結

以上是生活随笔為你收集整理的王道408数据结构——第二章 线性表的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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