題意：給一張無向圖，判斷能否分成兩個生成森林。

$n\le 2\times 10^3,m\le 4\times 10^3$

題目中這樣的圖稱為“叢林”，下面以此來簡稱。

結論 一張圖是叢林的充要條件是它的每一個子圖 $G=(|V|,|E|)$ 有 $|E|\le 2|V|?2$

必要性顯然。

充分性：考慮歸納法，當 $|V|=1$ 時顯然成立，$|V|>1$ 假設結點數小于 $|V|$ 的滿足條件的圖都是叢林。

引理1 定義滿圖為滿足 $|E|=2|V|?2$ 的圖，對于當前圖的兩個交非空的子圖 $G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)$，它們的并也是滿圖。

證明 設它們的交為 $G_3=(V_3,E_3)$，并為 $G=(V,E)$。由假設知 $|E_1|=2|V_1|?2,|E_2|=2|V_2|?2,|E_3|\le 2|V_3|?2$，所以 $|E|\ge 2|V|?2$。又因為 $|E|\le 2|V|?2$，所以 $|E|=2|V|?2$。得證。

引理2 一個叢林最小的點度數小于 $4$。

證明 顯然。

對于一張滿足右邊的條件的圖，它的每一個真子圖都是叢林。我們考慮它的一個最小的點的度數，如果是 $0,1,2$，就把這些邊連到外面對應個數的生成森林上，得到整張圖是叢林。下面討論度數為 $3$ 的情況。

引理3 當度數為 $3$ 時，設相鄰的三個點為 $a,b,c$，刪掉這個點 $u$ 及這三條邊后的圖為 $G$，那么一定存在 $\{x,y\}?\{a,b,c\}$ 使得 $G$ 中不存在一個滿子圖包含 $x,y$。

證明 假設 $a,b,c$ 兩兩都被一個滿子圖包含，把這三個滿子圖合并起來，由引理 1，合并后的圖 $F$ 也是滿子圖，即 $|E(F)|=2|V(F)|?2$。我們加入 $u$ 和這三條邊，就得到了一張 $|E|=2|V|?1$ 的圖，它是原圖的子圖，矛盾，得證。

我們在 $G_1$ 中加入一條邊 $(x,y)$，因為不存在包含 $(x,y)$ 的滿圖，所以加入后 $G_1$ 仍然是叢林。考慮這棵叢林的兩棵生成樹，在包含 $(x,y)$ 的樹上斷掉這條邊，然后 $u$ 分別通過 $x,y$ 連接兩個連通分量，剩下一個直接連，就構造了兩棵原圖的生產樹，原命題得證。

---

現在我們要判斷是否對于每一個子圖都有

$$|E|\le 2|V|?2$$

$$|E|?2|V|\le ?2$$

就是最大權閉合子圖對于每條邊建一個點，從 $S$ 連邊權為 $1$ 的邊，向兩個端點連 $+\infty$ 的邊，每個點到 $T$ 連邊權為 $2$ 的邊，跑最小割即可。

設最小割為 $c$,邊數為 $m$，我們需要判斷是否

$$m?c\le ?2$$

然后你會發現至少有一個大小為 $m$ 的割，所以會永遠輸出 No。

冷靜分析，這樣的原因是空圖的存在。所以我們要枚舉一個點強制選，也就是斷掉對應的邊，最后最小割 $+2$，當 $c?2<m$ 時輸出 No。

然后要跑 $n$ 次完整的 dinic，會 T。注意到每次流量改變是常數，所以在斷掉 $(u,v)$ 時從 $u$ 到 $S$ 流 $c(u,v)$ 的流量來模擬退流，然后物理斷掉這條邊。再從 $S$ 到 $T$ 跑 dinic，因為是在幾乎已經增廣完的殘余網絡上跑的所以很快。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <queue> #define MAXN 6005 #define MAXM 40005 using namespace std; const int INF=0x7fffffff; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } struct edge{int u,v,c;}e[MAXM]; int head[MAXN],cur[MAXN],nxt[MAXM],cnt=1; inline void insert(int u,int v,int c){e[++cnt]=(edge){u,v,c};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;} inline void addnode(int u,int v,int c){insert(u,v,c),insert(v,u,0);} int dis[MAXN]; bool bfs(int S,int T) {queue<int> q;q.push(T);memset(dis,-1,sizeof(dis));dis[T]=0;while (!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i^1].c&&dis[e[i].v]==-1){dis[e[i].v]=dis[u]+1;q.push(e[i].v);if (e[i].v==S) return true;}}return false; } int dfs(int u,int f,int T) {if (u==T||!f) return f;int used=0;for (int& i=cur[u];i;i=nxt[i])if (e[i].c&&dis[u]==dis[e[i].v]+1){int w=dfs(e[i].v,min(e[i].c,f),T);e[i].c-=w,e[i^1].c+=w;f-=w,used+=w;if (!f) break;}if (!used) dis[u]=-1;return used; } inline int dinic(int S,int T,int f=INF) {int ans=0;while (f>ans&&bfs(S,T))memcpy(cur,head,sizeof(head)),ans+=dfs(S,f-ans,T);return ans; } int pos[MAXN]; int solve() {memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));cnt=1;int n,m;n=read(),m=read();int S=n+m+1,T=S+1;for (int i=1;i<=m;i++){addnode(n+i,read(),INF);addnode(n+i,read(),INF);addnode(S,n+i,1);}for (int i=1;i<=n;i++) addnode(i,T,2),pos[i]=cnt;int ans=dinic(S,T);for (int i=1;i<=n;i++){int f=e[pos[i]].c;e[pos[i]].c=e[pos[i]^1].c=0;if (f) ans-=dinic(i,S,f);if (i>1) e[pos[i-1]^1].c=2;ans+=dinic(S,T);if (ans<m) return puts("No"),0;}puts("Yes");return 0; } int main() {for (int T=read();T;T--) solve();return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【UOJ168】元旦老人与丛林【图论证明】【最大权闭合子图】【dinic动态推流】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。