Monotonic Matrix

題意：

問有多少個n * m的矩陣A滿足一下情況：答案mod 1e9+7

矩陣A的所有元素∈{0,1,2}

$A_{i,j}<=A_{i+1,j}$

$A_{i,j}<=A_{i,j+1}$

題解：

我們先看看這個式子有啥規律？
對于每一行，每一列都是非下降序列，也就是說如果有一位是2，其后面都是2，如果有一位是1，其前面都是1
那我們考慮元素01和12的分界線
是(n,0)到(0,m)的兩條不相交(可重合的路徑)
第一個分界線以上的點是一種，兩條分界線之間是一種，第二個分界線以下是一種(詳細看圖)

不過現在這個兩個線的起終點一樣，我們可以將第一個線進行偏移，變成起點為(n-1,-1)到(-1,m-1).（注意這兩個線不是弧形的，而是水平豎直線）
現在問題就是起點為(n-1,-1)，終點為(-1,m-1)和起點為(n,0)，終點為(0,m),兩個不相交路徑的條數
怎么做？引入LGV定理
就有：
起點{$a_1,a_2$}={$(n,0),(n?1,?1)$}
終點{$b_1,b_2$}={$(0,m),(?1,m?1)$}
帶入公式：
$$ans=\left|\begin{array}{cc}(a_1,b_1)& (a_1,b_2)\\ (a_2,b_1)& (a_2,b_2)\end{array}\right|$$
$(a_1,b_1)$表示從(n,0)到(0,m)的路徑數，從(n,0)到(0,m)共有n+m步，我們選擇其中n步向上走，剩下的自然是向右走，共$C_{n+m}^n$種方法，其他同理
最終答案ans=$C_{n+m}^n?C_{n+m}^{n?1}?C_{n+m}^{m?1}?C_{n+m}^n$

代碼：

#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elsestartTime = clock ();freopen("data.in", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elseendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } const int maxn=3e6+9; const int mod=1e9+7; ll inv[maxn]; ll f[maxn]; ll f0[maxn]; void init(int N){inv[1]=inv[0]=1;f[1]=f[0]=1;f0[0]=f0[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){f[i]=f[i-1]*i%mod;f0[i]=(mod-mod/i)*f0[mod%i]%mod;inv[i]=inv[i-1]*f0[i]%mod;} } ll C(ll a,ll b){return 1ll*f[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod; } int main() {//rd_test();init(10000);ll n,m;while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){cout<<(C(n+m,n)*C(n+m,n)%mod-C(n+m,n-1)*C(n+m,m-1)%mod+mod)%mod<<endl;}//Time_test(); } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019牛客多校Monotonic Matrix的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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