problem

給定一個(gè)長(zhǎng)度為 $n$ 的排列 $a$。有 $q$ 個(gè)詢問(wèn)，每次詢問(wèn)一個(gè)區(qū)間 $[l,r]$。求這個(gè)區(qū)間的 $k$ 值。

其中 $k={\sum }_{i=l}^r{\sum }_{j=i+1}^{r}f(a_i,a_j),f(x,y)$ 為一個(gè)遞歸函數(shù)，定義如下：

• 當(dāng) $x=y$，其值為 $1$。
• 當(dāng) $n=y$，其值為 $f(x+y+|x?y|,|x?y|)$。
• 若無(wú)限循環(huán)，其值為 $0$。

$n,q\le 1e5$。

solution

$\text{observation1}:$ 首先觀察這個(gè)函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù) $x,y$ 的和是不變的。

所以當(dāng)這個(gè)和為奇數(shù)的時(shí)候，一定會(huì)死循環(huán)，不可能走到 $x=y$ 的局面。

否則 $x,y$ 一定同奇偶。

$\text{observation2}:$ 又不難知道加減運(yùn)算過(guò)程中結(jié)果仍是 $\text{gcd}$ 的倍數(shù)。所以去掉不影響答案。

因此我們可以將 $x,y$ 都除以他們的 $\text{gcd}$。那么此時(shí)得到的 $x,y$ 均為奇數(shù)且互質(zhì)。

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接下來(lái)假設(shè) $x>y$，我們可以同時(shí)除以他們的 $\text{gcd}$。

由于 $x,y$ 同為奇，故 $y?2,x?y$ 都是偶數(shù)。

再假設(shè) $y?2,x?y$ 有與 $2$ 互質(zhì)的公因數(shù) $k(k=1)$。

則 $k\mid y\wedge k\mid x?y$，所以 $k\mid x$，這與 $(x,y)=1$ 矛盾。

所以這個(gè) $\text{gcd}$ 一定為 $2$。

所以 $f(x,y)$ 等價(jià)于 $f(\frac{x?y}{2},y)$。

故其和每次都會(huì)除以 $2$，直到 $x=y=1$ 或死循環(huán)。

這樣我們就可以求出 $f(i,j)$ 的值為 $g(\frac{i+j}{\gcd (i,j)})$，其中當(dāng) $x=2^k$ 時(shí)，$g(x)=k$；否則 $g(k)=0$。

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假設(shè) $x,y$ 最簡(jiǎn)比為 $a,b$，即 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$。

我們不妨枚舉 $2^i$，使得 $a+b=2^i$，然后枚舉 $a$，自然就知道了 $b$。還需要檢查一下 $a,b$ 互質(zhì)。

再枚舉這個(gè)比例，進(jìn)而也能知道 $x,y$。

顯然這樣的 $(a,b)$ 有 $2^i$ 種，且 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=d\le \frac{n}{2^{i?1}}$。

這樣合法的不同的 $(x,y)$ 只有 $2n$ 對(duì)左右。

一共也就 $O(n\log n)$ 的級(jí)別，我們完全可以將這些二元組記下來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成了二維偏序問(wèn)題。

就可以用樹(shù)狀數(shù)組做了。

時(shí)間復(fù)雜度 $O(n{\log }^{2}n)$。

其實(shí)由二離和分塊的做法，但我不會(huì)哈哈哈

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 200005 #define int long long int n, m; int a[maxn], p[maxn], ret[maxn], t[maxn]; vector < int > G[maxn]; vector < pair < int, int > > Q[maxn];int gcd( int x, int y ) {if( ! y ) return x;else return gcd( y, x % y ); }void add( int i, int x ) {for( ;i <= n;i += i & -i ) t[i] += x; }int ask( int i ) {int ans = 0;\for( ;i;i -= i & -i ) ans += t[i];return ans; }int F( int x, int y ) {if( x == y ) return 1;if( x < y ) swap( x, y );return F( y << 1, x - y ) + 1; }void solve() {for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j : G[i] ) {int k = F( a[j], a[i] );add( 1, k ), add( j + 1, -k );}for( auto j : Q[i] ) ret[j.second] = ask( j.first );} }signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), p[a[i]] = i;for( int i = 0;(1 << i) <= (n << 1);i ++ ) {for( int j = 1;j <= n;j ++ ) {int k = (1 << i) - a[j];if( k <= 0 or k > n or p[k] > j or a[j] == k ) continue;if( gcd( k, a[j] ) ^ 1 ) continue;for( int o = 1;p[o * k] and p[o * a[j]];o ++ ) {int x = p[o * k], y = p[o * a[j]];if( x > y ) swap( x, y );G[y].push_back( x );}}}scanf( "%lld", &m );for( int i = 1, l, r;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &l, &r );Q[r].push_back( make_pair( l, i ) );}solve();for( int i = 1;i <= m;i ++ ) printf( "%lld\n", ret[i] );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Function Query（树状数组）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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