problem

luogu-P3246

心路歷程+卡常歷程+問題存疑

一直在想莫隊的做法。發現左右指針的移動對應一段左/右端點固定的子序列，然后可以一個數代表一段相同的貢獻。

就開始求 $ls{t}_i,nx{t}_i$ 了。

仔細想想需要找到 $ls{t}_{ls{t}_i}<l\le ls{t}_i$ 的特殊位置，然后要知道這中間點的貢獻。

我就在來了個線段樹維護區間和，然后用 $\text{set}$ 存 $ls{t}_i$ 二分找。

后來半天過不了樣例，不是過大就是過小。

隱約間覺得不對勁，后來真的好像不對勁，我就大刀闊斧直接砍了。

開始懷疑自己的莫隊算法。此時經過了八點半到九點十分共四十多分鐘的時間。

我開始嘗試整體二分，后面發現自己完全不會分治。此時我陷入了困境。

我又倒回去想了下莫隊，我發現問題出在 $ls{t}_i$ 中間不是所有點都是對應在 $[l,r]$ 的貢獻，我好像算多了。

因為 $ls{t}_i$ 是從 $i$ 出發得到的，而非整體的 $r$。

難道我只用維護一個全局的？不，這樣會算少。

突然我意識到可以把這種關系建成樹！并且發現了編號之間與子序列間的對應關系。

此時時間大概在酒店四五十左右，我就開始敲了。

過程比較順利，十點半不到？就敲完了。然后開始調，輸出中間結果，發現最后結果已經和樣例快要吻合時，我就更加堅定了自己的做法。

十一點我通過了小樣例，緊接著大樣例也是正確的。

但很遺憾，耗時 $3.6s$ 多。

我發現輸入數據過多，就換成了快讀快輸。耗時變成了 $3.0s$ 多。

接著我覺得倍增對于極限數據也只會到 $16$ ，所以卡了下倍增的循環。耗時縮減為 $2.6s$。

改下塊長加 $O2$ 就能看看卡過。

但是當時我嘗試了一下用莫隊的奇偶優化，時間瞬間到了 $1.9s$ 左右。

此時出現了個大問題！我發現這樣就跑不過大樣例了。

我對此非常疑惑。

下午又研究了一番，發現當我將莫隊的四個指針移動前后兩個交換位置，也會跑不過大樣例？！！莫隊詢問排序塊內按右端點降序排列也不行！

這下真給我整不會了，我突然猜是不是爆 long long 了，用 $\text{assert}$ 發現沒有，自己算極限也是 $6e18$ 不到。

后面通過數據，我覺得應該是倍增到最后不能往上跳部分出現了問題。

但是這樣怎么可能會讓我的第一次建構代碼跑過去呢？

至今我仍然不清楚。

只能說非常幸運的在第一次敲代碼的時候就跑過去了把。

如果有人知道這是為什么的話，麻煩請聯系一下我！謝謝了。

solution

由于昨天做的一道題題解提了一句莫隊二次離線，形式就是 $l\le x\le y\le r$。

所以一看到這個題，我就在想莫隊的做法。

莫隊反正就是左端點分塊排序，右端點塊內遞增，就兩個指針移動的板子，時間復雜度就帶了個 $\sqrt{n}$。

問題是如何快速計算移動 $l/r$ 一個位置后對應的答案動態變化。

以右移 $r$ 為例，當 $r\leftarrow r+1$的時候，我們需要新加 $[l,r]～r+1$ 共 $r?l+1$ 組新的子序列貢獻。

然后發現，我們只需要跳較小值的位置即可。

具體而言，假設 $p$ 滿足 $a_p\le a_{r+1}\wedge {?}_{p<i<r+1}{a}_i>a_{r+1}$。

最大的不超過 $a_{r+1}$ 的位置，記為 $ls{t}_{r+1}$。

則對于 $[p,r]～r+1$ 共 $r?p+1$ 組子序列的貢獻都是 $a_p$。

同理我們找到 $ls{t}_p$，然后共 $p?ls{t}_p+1$ 組子序列的貢獻都是 $a_{ls{t}_p}$。

以此類推$\dots$直到跳到 $<l$ 的位置，$l$ 開頭那一段貢獻可能不完整，簡單處理一下即可。

我們肯定不能暴力跳，注意到一個數對應的完整區間貢獻是固定的，所以我們可以倍增！

我們將 $ls{t}_i\to i$ 建立有向邊，然后生成一棵樹，不難發現。$(u?fa)?a_u$ 即為 $u$ 對應的完整貢獻。

至于找 $ls{t}_i$，答主比較無腦，直接權值線段樹上，完全不帶腦子的大常數。而且 $a_i$ 值域過大，還加了個離散化。

$r$ 左移減去貢獻與上面的過程完全一樣。

而 $l$ 的左移右移則需要維護 $nx{t}_i$，最小的不大于 $a_i$ 的位置。獲得方式同 $ls{t}_i$。

同樣 $nx{t}_i\to i$ 建立有向邊，生成一棵樹。

為了使得點與父節點之間能算出點的貢獻，我們欽定找不到的 $ls{t}_i=0,nx{t}_i=n+1$。

時間復雜度大概是 $O(n\sqrt{n}\log n)$。

會被卡，那就稍微調整一下塊長。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define lson now << 1 #define rson now << 1 | 1 #define mid (l + r >> 1) #define ll long long #define maxn 100005 int n, Q, B; ll ans; int a[maxn], b[maxn], block[maxn], lst[maxn], nxt[maxn]; ll ret[maxn]; struct query { int l, r, id; }q[maxn];namespace MaxSgt {int Max[maxn << 2];void modify( int now, int l, int r, int p, int v ) {if( l == r ) { Max[now] = v; return; }if( p <= mid ) modify( lson, l, mid, p, v );else modify( rson, mid + 1, r, p, v );Max[now] = max( Max[lson], Max[rson] );}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return 0;if( L <= l and r <= R ) return Max[now];return max( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );} }namespace MinSgt {int Min[maxn << 2];void build( int now, int l, int r ) {Min[now] = n + 1;if( l == r ) return;build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );}void modify( int now, int l, int r, int p, int v ) {if( l == r ) { Min[now] = v; return; }if( p <= mid ) modify( lson, l, mid, p, v );else modify( rson, mid + 1, r, p, v );Min[now] = min( Min[lson], Min[rson] );}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) {if( R < l or r < L ) return n + 1;if( L <= l and r <= R ) return Min[now];return min( query( lson, l, mid, L, R ), query( rson, mid + 1, r, L, R ) );} }struct tree {vector < int > G[maxn];int f[maxn][17]; ll g[maxn][17];void addedge( int u, int v ) {G[u].push_back( v );}int Fabs( int x ) {return x < 0 ? -x : x;}void dfs( int u, int fa ) {f[u][0] = fa, g[u][0] = 1ll * Fabs( u - fa ) * b[a[u]]; for( int i = 1;i < 17;i ++ ) {f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];g[u][i] = g[f[u][i - 1]][i - 1] + g[u][i - 1];}for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) dfs( G[u][i], u );} }L, R;void AddR( int l, int r ) {for( int i = 16;~ i;i -- )if( L.f[r][i] >= l ) ans += L.g[r][i], r = L.f[r][i];ans += 1ll * (r - l + 1) * b[a[r]]; }void SubR( int l, int r ) {for( int i = 16;~ i;i -- )if( L.f[r][i] >= l ) ans -= L.g[r][i], r = L.f[r][i];ans -= 1ll * (r - l + 1) * b[a[r]]; } void AddL( int l, int r ) {for( int i = 16;~ i;i -- )if( R.f[l][i] <= r ) ans += R.g[l][i], l = R.f[l][i];ans += 1ll * (r - l + 1) * b[a[l]]; }void SubL( int l, int r ) {for( int i = 16;~ i;i -- )if( R.f[l][i] <= r ) ans -= R.g[l][i], l = R.f[l][i];ans -= 1ll * (r - l + 1) * b[a[l]]; }void read( int &x ) {x = 0; int f = 1; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) {if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}while( '0' <= s and s <= '9' ) {x = (x << 1) + (x << 3) + (s ^ 48);s = getchar();}x *= f; }void print( ll x ) {if( x < 0 ) putchar('-'), x = -x;if( x > 9 ) print( x / 10 );putchar( x % 10 + '0' ); }int main() {read( n ), read( Q );B = 400;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) read( a[i] );for( int i = 1;i <= Q;i ++ ) read( q[i].l ), read( q[i].r ), q[i].id = i;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) block[i] = (i - 1) / B + 1;sort( q + 1, q + Q + 1, []( query x, query y ) { return (block[x.l] == block[y.l]) ? (x.r < y.r) : (x.l < y.l); } );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) b[i] = a[i];sort( b + 1, b + n + 1 );int m = unique( b + 1, b + n + 1 ) - b - 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) a[i] = lower_bound( b + 1, b + m + 1, a[i] ) - b;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {lst[i] = MaxSgt :: query( 1, 1, m, 1, a[i] );MaxSgt :: modify( 1, 1, m, a[i], i );L.addedge( lst[i], i );}MinSgt :: build( 1, 1, m );for( int i = n;i >= 1;i -- ) {nxt[i] = MinSgt :: query( 1, 1, m, 1, a[i] );MinSgt :: modify( 1, 1, m, a[i], i );R.addedge( nxt[i], i );}L.dfs( 0, 0 );R.dfs( n + 1, n + 1 );int curl = 1, curr = 0;for( int i = 1;i <= Q;i ++ ) {int l = q[i].l, r = q[i].r;while( curr < r ) AddR( curl, ++ curr );while( curr > r ) SubR( curl, curr -- );while( curl > l ) AddL( -- curl, curr );while( curl < l ) SubL( curl ++, curr );ret[q[i].id] = ans;}for( int i = 1;i <= Q;i ++ ) print( ret[i] ), putchar('\n');return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[HNOI2016] 序列（线段树 + 莫队 + 倍增）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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