problem

CF1368E Ski Accidents

solution

這個 $\frac{4}{7}n$ 的限制，提示這存在一個特定構造方案，由 $7$ 我們聯想到 $1+2+4=7$。

暗示把頂點分為三類 $A,B,C$，滿足 $|C|\le 2|B|\le 4|A|$。

此時 $C$ 組的元素數目一定 $\le \frac{4}{7}n$。

• 構造方式：把所有入度為 $0$ 的點都放入 $A$，把至少有一條入邊來自 $A$ ，但沒有來自 $B$ 的入邊的點放入 $B$。然后，把至少有一條入邊來自 $B$ 的入邊的點放入 $C$。剩下的點（所有入邊都來 $C$ ）放入 $A$。

此時，各類包含的頂點要求為：

• $A:$ 入度為 $0$；所有入邊都來自 $C$。
• $B:$ 至少有一條入邊來自 $A$，但沒有來自 $B$ 的入邊。
• $C:$ 至少有一條入邊來自 $B$。

不難發現，三類形成了一個有效的集合劃分。

且因為每個點的出度都不超過 $2$，即 $A$ 的出邊至多有 $2|A|$ 條，所以 $2|A|\ge |B|$，$2|B|\ge |C|$ 同理。

此時將 $C$ 類點盡數刪除。

由于 $A,B$ 都沒有來自 $B$ 的入邊，而 $A$ 內部點之間也不存在邊，所以一定不存在長度超過 $1$ 的路徑。

有向無環圖，所以可以在 $O(n)$ 的時間內完成求解。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 200005 vector < int > G[maxn], ans; int T, n, m; int col[maxn];int main() {scanf( "%d", &T );while( T -- ) {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) G[i].clear(), col[i] = 0;for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[v].push_back( u );}for( int v = 1;v <= n;v ++ )for( int u : G[v] ) {if( col[u] == 1 )col[v] = 2;if( col[v] ^ 2 and col[u] == 0 )col[v] = 1;}ans.clear();for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( col[i] == 2 ) ans.push_back( i );printf( "%d\n", ans.size() );for( int i : ans ) printf( "%d ", i );puts("");} return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CF1368E] Ski Accidents（神仙结论构造）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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