正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7137

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題目大意

有兩個人，有$n$個蛋糕，第$i$個蛋糕大小為$a_i$。

每一次第一個人可以選擇一個蛋糕把它切成任意大小的兩份（一份可以為空）。

然后第二個人有$m$次機會優(yōu)先選擇一份拿走，否則都是第一個人先拿。

兩個人都希望自己拿走的最多。

求第一個人最終能拿走多少。

$1\le m\le n\le 2500$

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解題思路

現在看來還挺簡單的，一雪前恥了屬于是。

因為是自定義順序，所以考慮起來比較麻煩所以我們先考慮怎么確定拿的順序。

瞎猜感性思考一下不難發(fā)現，如果我們把大的放在前面，那么第一個人分的時候就分太不平均，因為第二個人手里有選擇權威懾，但是如果我們把小的放在前面顯然威懾權就到第一個人手里了。因為如果第二個交了太多次機會那么第一個人后面直接全拿，所以此時第二個人不敢交這么多次機會那第一個人就可以全拿了。

所以我們直接敲定是從小到大分，那么順序固定之后就很簡單了，反過來推，設$f_{i,j}$表示分到第$i$時還有$j$次選擇權的第一個人總和。
那么我們就有轉移方程。
$$f_{i,j}=max\{min\{f_{i?1,j?1}+a_i?x,f_{i?1,j}+x\}\}(x\in [0,\frac{m}{2}])$$
考慮一下怎么確定這個$x$，其實也很簡單，設$A=f_{i,j},B=f_{i,j?1}$，那么顯然有$B>A$。

如果$B?A\ge a_i$那么我們直接全拿$a_i$這樣第二個人也不會用機會，此時$f_{i,j}=B$。

如果$B?A\le a_i$那么我們把$a_i$分給$A$不足$B$的那部分后剩下的平分給$A$和$B$，此時$f_{i,j}=B+\frac{a_i?(B?A)}{2}$。

時間復雜度：$O(nm)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=2510; int n,m; double a[N],f[N][N]; int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&a[i]);sort(a+1,a+1+n);for(int i=n;i>=1;i--){f[i][0]=f[i+1][0]+a[i];for(int j=1;j<=m;j++){double A=f[i+1][j],B=f[i+1][j-1];//B>A x<=a/2 B+x A+a-xif(B-A<=a[i])f[i][j]=B+(a[i]-B+A)/2.0;else f[i][j]=A+a[i];}}printf("%.6lf",f[1][m]);return 0; }

總結

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