正題

題目鏈接:https://uoj.ac/problem/351

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹，開始所有點都是白色，每次隨機點黑一個葉子（可以重復點），求期望多少次能使得白色點構成的圖直徑發生變化。
答案對$998244353$取模

$1\le n\le 5\times 10^5$

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解題思路

考慮什么時候會直徑會產生變化。

假設直徑的長度$L$為偶數，那么所有的直徑都有一個共同的中心點，設為$x$。此時我們需要在$x$的兩棵子樹中各自找到兩個深度為$\frac{L}{2}$的葉子，那么就可以組成一條直徑。

換句話說，把所有深度為$\frac{L}{2}$葉子取出來，然后把它們按照在那個根的子樹中分成若干個集合。然后當我們染色到只有一個集合沒有全部染色的時候就結束了。

那么現在問題變成給出若干個集合和一些集合外的點，每次染一個點，求期望多少次能夠染成只有一個集合沒有全部染色。
考慮總共有$n$個點，有$i$個已經染色了，那么染色下任意一個的概率就是$\frac{i}{n}$，期望就是$\frac{n}{i}$。

預處理$f_i={\sum }_{j=1}^i\frac{n}{j}$，然后我們可以考慮把集合中的點排列然后按順序染，最后除上方案就好了。

假設所有集合中總共有$m$個點，目前枚舉到的集合有$k$個點，然后染到這個集合剩下$p$個點的時候其他集合都染完了，那么期望就是
$$\frac{1}{m!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{p}\right)\times \left((m?p)!?(k?p)(m?p?1)!\right)\times p!\times (f_m?f_p)$$
（中間的減法是為了保證最后剩下的$p$個點前面一定是一個不是枚舉集合中的點，然后$f_m?f_p$是因為我們假設不在集合中的點已經染色了，那么剩下需要染$m?p$個）。

至于直徑長度是奇數的情況，那么有兩個中心點，也就是有一條中心邊，分成兩個集合按照上面的搞就好了。

時間復雜度：$O(n)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e5+10,P=998244353; struct node{ll to,next; }a[N<<1]; ll n,m,cnt,mxdis,root,tot,ans; ll ls[N],v[N],pre[N],fac[N],inv[N],f[N]; void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void findL(ll x,ll fa,ll dis){if(dis>mxdis)mxdis=dis,root=x;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;pre[y]=x;findL(y,x,dis+1);}return; } void markL(ll x,ll fa,ll dis,ll k){if(dis==mxdis/2&&(!a[ls[x]].next))v[k]++;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;markL(y,x,dis+1,k);}return; } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} signed main() {scanf("%lld",&n);for(ll i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}ll k=0;for(ll i=1;i<=n;i++)k+=!(a[ls[i]].next);inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)f[i]=(f[i-1]+k*inv[i]%P)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;findL(1,0,0);mxdis=0;findL(root,0,0);if(mxdis&1){ll x=root;for(ll i=1;i<=mxdis/2;i++)x=pre[x];ll y=pre[x];markL(x,y,0,1);markL(y,x,0,2);cnt=2;}else{ll x=root;for(ll i=1;i<=mxdis/2;i++)x=pre[x];for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next)cnt++,markL(a[i].to,x,1,cnt);}for(ll i=1;i<=cnt;i++)m+=v[i];for(ll i=1;i<=cnt;i++)for(ll j=1;j<=v[i];j++){ll w=(f[m]-f[j]+P)%P;w=(fac[m-j]-(v[i]-j)*fac[m-j-1]%P+P)%P*fac[j]%P*w%P;(ans+=w*inv[m]%P*C(v[i],j)%P)%=P;}printf("%lld\n",ans); return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UOJ#351-新年的叶子【树的直径,数学期望】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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