正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5643

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題目大意

給出$n$個點的一棵樹，一個人從點$x$開始隨機游走，然后$Q$次詢問給出一個點集$S$，求期望多少步這個人會經過這個點集中的所有點。

$1\le n\le 18,1\le Q\le 5000$

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解題思路

整個點集都走完比較難統計，我們可以考慮用$min?max$容斥轉為求走到其中一個點的期望步數。

我們設我們目前枚舉的集合是$S$，那么首先有$f_x=0(x\in S)$

然后有轉移方程：
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}(f_{f{a}_x}+\sum _{x\to y}{f}_y)$$
慣例的我們設$f_x=A_x{f}_{f{a}_x}+B_x$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}\left(f_{f{a}_x}+\sum _{x\to y}(A_y{f}_x+B_y)\right)$$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x}{f}_{f{a}_x}+\frac{sumA{f}_x}{deg}+\frac{1}{de{g}_x}sumB+1$$
$$\frac{de{g}_x?sumA}{de{g}_x}{f}_x=\frac{1}{de{g}_x}{f}_{f{a}_x}+\frac{1}{de{g}_x}sumB+1$$
$$f_x=\frac{1}{de{g}_x?sumA}{f}_{f{a}_x}+\frac{de{g}_x+sumB}{de{g}_x?su{m}_A}$$

這樣我們就可以推出$A$和$B$，而$B_x$就是節點$x$的$f$值，記$g_S=B_x$。

那么根據min-max容斥如果我們詢問集合$S$時答案就是
$$\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|+1}{g}_T$$

用個高維前綴和就可以預處理所有集合的答案了。

時間復雜度：$O(n{2}^n\log P)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=18,P=998244353; struct node{ll to,next; }a[N<<1]; ll n,Q,rt,tot,ls[N],deg[N]; ll A[N],B[N],c[1<<N],f[1<<N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;deg[y]++;return; } void dfs(ll x,ll fa,ll S){ll sumA=0,sumB=0;if((S>>x)&1){A[x]=B[x]=0;return;}for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x,S);sumA=(sumA+A[y])%P;sumB=(sumB+B[y])%P;}ll inv=power((deg[x]-sumA+P)%P,P-2);A[x]=inv;B[x]=(deg[x]+sumB)*inv%P;return; } signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&Q,&rt);rt--;for(ll i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;addl(x,y);addl(y,x);}ll MS=(1<<n);for(ll s=1;s<MS;s++){memset(A,0,sizeof(A));memset(B,0,sizeof(B));dfs(rt,n,s);f[s]=B[rt];}for(ll s=1;s<MS;s++){c[s]=c[s-(s&-s)]+1;f[s]=((c[s]&1)?f[s]:(P-f[s]));}for(ll i=0;i<n;i++)for(ll s=MS-1;s>=0;s--)if((s>>i)&1)(f[s]+=f[s-(1<<i)])%=P;while(Q--){ll k,s=0;scanf("%lld",&k);for(ll i=0,x;i<k;i++)scanf("%lld",&x),s|=(1<<x-1);printf("%lld\n",f[s]);}return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P5643-[PKUWC2018]随机游走【min-max容斥,dp】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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