正題

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1481F

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題目大意

給出$n$個(gè)點(diǎn)的一棵樹(shù)，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上填$a/b$，要求恰好有$m$個(gè)$a$。要求每個(gè)節(jié)點(diǎn)到根路徑上的字符串種類最少，輸出方案。

$1\le m\le n\le 10^5$

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解題思路

被stoorz拉來(lái)做這題，被D了/kk

很順理成章的一個(gè)思路是我們可以在同一深度的點(diǎn)填上相同的字母，如果能夠做到答案到達(dá)下界就是最大深度。

但是顯然不是所有時(shí)候都能到達(dá)下界，再考慮一個(gè)能確定上界的構(gòu)造方法。我們從上往下填，當(dāng)我們到達(dá)一層設(shè)有$x$個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)，還剩下$m_0$個(gè)$a$和$m_1$個(gè)$b$那么顯然有$m_0+m_1\ge 2x$，也就是有$max\{m_0,m_1\}\ge x$，所以這一層的非葉子節(jié)點(diǎn)一定能填相同的字母，然后葉子節(jié)點(diǎn)我們優(yōu)先按照非葉子節(jié)點(diǎn)的字母填。如果夠，那么這一層的貢獻(xiàn)是$1$，如果不夠這一層會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不同的，貢獻(xiàn)為$2$，但是此時(shí)有一種字母已經(jīng)用完，所以剩下的層的貢獻(xiàn)一定都是$1$。

這樣就發(fā)現(xiàn)答案的上界就是最大深度+1，問(wèn)題就變?yōu)榱巳绾闻袛啻鸢甘欠袷?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$k$了。

暴力完全背包顯然不可行，考慮從和為$n$入手，相似與根號(hào)分治的思路我們可以考慮根號(hào)的復(fù)雜度。對(duì)于所有層來(lái)說(shuō)節(jié)點(diǎn)數(shù)不同的值只有根號(hào)級(jí)別種，所以我們可以把這些合并出來(lái)變成一個(gè)多重背包問(wèn)題，然后用單調(diào)隊(duì)列的$O(nm)$做法即可（但是由于這題是判斷是否能夠拼出來(lái)所以不需要單調(diào)隊(duì)列甚至不需要枚舉余數(shù)）。

時(shí)間復(fù)雜度：$O(n\sqrt{n})$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int N=1e5+10; struct node{int to,next; }a[N]; int n,m,k,p,tot,r[N],ls[N],f[500][N]; bool ans[N];vector<int>v[N],c[N]; void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return; } void dfs(int x,int dep){k=max(k,dep);v[dep].push_back(x);for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;dfs(a[i].to,dep+1);}return; } void solve0(){for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=1;while(p&&m){int l=(m-f[p][m])/r[p];for(int i=0;i<l;i++)for(int j=0;j<v[c[r[p]][i]].size();j++)ans[v[c[r[p]][i]][j]]=0;m=f[p][m];p--;}printf("%d\n",k);for(int i=1;i<=n;i++)putchar(ans[i]+'a');return; } void solve1(){int u[2]={m,n-m};for(int d=1;d<=k;d++){int tmp=0,uc=0;for(int i=0;i<v[d].size();i++)tmp+=(ls[v[d][i]]!=0);if(tmp<=u[0])u[0]-=tmp;else{uc=1;u[1]-=tmp;for(int i=0;i<v[d].size();i++)if(ls[v[d][i]]!=0)ans[v[d][i]]=1;}for(int i=0;i<v[d].size();i++){if(ls[v[d][i]]!=0)continue;if(!u[uc])uc^=1;u[uc]--;ans[v[d][i]]=uc;}}printf("%d\n",k+1);for(int i=1;i<=n;i++)putchar(ans[i]+'a');return; } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=2,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),addl(x,i);dfs(1,1);for(int i=1;i<=k;i++)c[v[i].size()].push_back(i);for(int i=1;i<=m;i++)f[0][i]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){if(!c[i].size())continue;r[++p]=i;for(int j=1;j<=m;j++)f[p][j]=-1;for(int j=1;j<=m;j++){if(f[p-1][j]!=-1)f[p][j]=j;else if(j>=i&&f[p][j-i]!=-1&&j-f[p][j-i]<=i*c[i].size())f[p][j]=f[p][j-i];}}if(f[p][m]!=-1)solve0();else solve1();return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的CF1481F-AB Tree【构造,背包】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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