正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5591

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題目大意

給出$n,p,k$求
$$\left(\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i?\frac{i}{k}?\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}998244353$$

$1\le n,p<998244353,k=2^w(w\in [0,20])$

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解題思路

開始以為推錯(cuò)了，結(jié)果是要特判
推出了看上去不是我能推的式子

$$\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i\sum _{j=1}^i[k|j]$$
然后單位根反演
$$\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i\sum _{j=1}^i\frac{1}{k}\sum _{l=0}^{k?1}{\omega }_k^{l\times j}$$
系統(tǒng)整理一下
$$\frac{1}{k}\sum _{l=0}^{k?1}\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i\sum _{j=1}^i{\omega }_k^{l\times j}$$
然后等比數(shù)列通項(xiàng)公式拆開
$$\frac{1}{k}\sum _{l=0}^{k?1}\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i\frac{{\omega }_k^l?{\omega }_k^{li}{\omega }_k^l}{1?{\omega }_k^l}$$
$$\frac{1}{k}\sum _{l=0}^k\frac{{\omega }_k^l}{1?{\omega }_k^l}\left(\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i?\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i{\omega }_k^{li}\right)$$
$$\frac{1}{k}\sum _{l=0}^k\frac{{\omega }_k^l}{1?{\omega }_k^l}\left((p+1{)}^n?(p{\omega }_k^l+1{)}^n\right)$$

然后寫出來會愉快的發(fā)現(xiàn)沒有過樣例，仔細(xì)看我們式子里面有一個(gè)$\frac{{\omega }_k^l}{1?{\omega }_k^l}$。

當(dāng) $l=0$ 的時(shí)候$1?{\omega }_k^l=0$，所以不能直接這么求，我們這個(gè)得分開考慮。

就是
$$\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^{i}i?\sum _{i=1}^n\frac{n!}{(i?1)!(n?i)!}{p}^i$$
$$np\sum _{i=1}^n\frac{(n?1)!}{(i?1)!(n?i)!}{p}^{i?1}?n\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?1}{i}\right)p^{i?1}?np(p+1{)}^{n?1}$$
就好了

時(shí)間復(fù)雜度$:O(k\log P)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll P=998244353; ll n,p,k,ans; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;x%=P;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } signed main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&p,&k);ll d=power(3,(P-1)/k);ans=n*p%P*power(p+1,n-1)%P;for(ll i=1,w=d;i<k;i++,w=w*d%P){ll inv=power(P+1-w,P-2)*w%P;ans+=power(p+1,n)*inv%P;ans-=power(w*p+1,n)*inv%P;ans=(ans+P)%P;}printf("%lld\n",ans*power(k,P-2)%P);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的P5591-小猪佩奇学数学【单位根反演】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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