正題

題目鏈接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/893

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題目大意

給出一張$n$個點$m$條邊的無向聯通圖，每條邊正反向各有$A,B,C$三種邊權。
保證滿足
$$A_{x,y}=?A_{y,x},B_{x,y}=B_{y,x},C_{x,y}=?C_{y,x}$$
$$\sum _{x?>y}{C}_{x,y}=0$$
且對于每個環$[v_1,v_2...v_n](v_1=v_n)$
$$\sum _{i=1}^{n?1}{C}_{v_i,v_{i+1}}\times B_{v_i,v_{i+1}}=\sum _{i=1}^{n?1}{A}_{v_i,v_{i+1}}$$

現在給你$A,B$邊權，求$C$邊權。

數據保證解唯一，所有限制都在模$P$意義下

$n\in [1,100],m\in [1,2000],P\in [1,10^{18}]\cup Pri$

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解題思路

最后一個環的限制很麻煩，因為環很多。

先考慮原圖的任意一顆生成樹$T$上，對于任意一條非樹邊$(u,v)$可以表示一個$u?>v?>u$的環。并且因為反過來走邊權為負，所以你可以通過用一些小環相互抵消出一個大環。

結論就是所有的環都可以被一些用非樹邊表示的環相互抵消表示。所以我們就可以將環的數量減少到$O(m)$級別了。

暴力消元$O(m^3)$顯然無法通過本題，我們還需要優化。

設$D_{x,y}=B_{x,y}\times C_{x,y}?A_{x,y}$，那么第一個條件就表示成了每個環$D$的和為$0$。

并且還能發現一個性質，對于一個非樹邊表示的環$(x,y)$，
$$path(y,x)+D_{x,y}=0,path(x,y)=?path(y,x),?D_{x,y}=path(x,y)$$
（其中$path(x,y)$表示樹上路徑$x,y$的$D$值和）

所以可以證明從$x$走到$y$的所有路徑權值相同

那么我們可以設$f_x=path(1,x)$，那么$D_{x,y}=f_y?f_x$。

這樣對于每個點就可以根據$C$的限制列出一個方程
$$\sum _{x?>y}\frac{f_y?f_x+A_{x,y}}{B_{x,y}}=0$$

然后高斯消元即可，時間復雜度$O(n^3)$

注意模數比較大，要寫龜速乘

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=110; struct node{ll x,y,a,b; }e[N*20]; ll n,m,P,f[N]; ll mul(ll a,ll b){a%=P;b%=P;ll tmp=(long double)a*b/P;long double ans=a*b-tmp*P;if(ans>=P)ans-=P;else if(ans<0)ans+=P;return ans; } ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,x);x=mul(x,x);b>>=1; }return ans; } namespace G{ll a[N][N],b[N];void solve(ll *f){for(ll i=1;i<=n;i++){ll p=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){p=j;break;}swap(a[i],a[p]);swap(b[i],b[p]);ll inv=power(a[i][i],P-2);b[i]=mul(b[i],inv);for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=mul(a[i][j],inv);for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]+mul(rate,a[i][k]))%P;b[j]=(b[j]+mul(rate,b[i]))%P;}}for(ll i=n;i>=1;i--){for(ll j=i+1;j<=n;j++)(b[i]+=P-mul(b[j],a[i][j]))%=P;f[i]=b[i];}return;} } signed main() {freopen("graph.in","r",stdin);freopen("graph.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,a=e[i].a,b=e[i].b;b=power(b,P-2);(G::a[x][y]+=b)%=P;(G::a[x][x]+=P-b)%=P;(G::b[x]+=P-mul(a,b))%=P;swap(x,y);a=P-a;(G::a[x][y]+=b)%=P;(G::a[x][x]+=P-b)%=P;(G::b[x]+=P-mul(a,b))%=P;}for(ll i=1;i<=n;i++)G::a[1][i]=0;G::a[1][1]=1;G::b[1]=0;G::solve(f);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,a=e[i].a,b=e[i].b;b=power(b,P-2);printf("%lld\n",mul((f[y]-f[x]+a+P)%P,b));}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的YbtOJ#893-带权的图【高斯消元,结论】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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