正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3265

---

題目大意

給出$n$個有權值的$m$元組。求最大獨立集，即一個最大的集合且內部元素線性無關。且在集合最大的情況下權值和最小

通俗的說就是沒有任何一個元素內被其他元素的倍數和表示。

---

解題思路

我們考慮線性基的本質就是擬陣的一個最大獨立集，我們可以用線性基的方法來做。

也就是需要構造一個實數線性基。根據之前[BJWC2011]元素這道題的方法，我們知道我們可以根據權值從小到大加入直到無法加入為止。

考慮如何用擬陣證明這個貪心的最優性。設一個擬陣$(S,L)$，定義$T$是最優集合，現在我們知道了一個$A$是$T$的子集，考慮證明加入一個目前權值最小的$w$有$A\cup \{x\}?T$。
證明

• 若$A^{\prime }=A\cup \{x\}$且$A^{\prime }?T$那么，先定義一個$T^{\prime }=A^{\prime }$若$|T^{\prime }|<|T|$，根據擬陣的交換性則一定存在一個$t\in T$且$t\in /T^{\prime }$且$T^{\prime }\cup \{x\}\in L$。那么我們不停將$x$加入$T^{\prime }$中直到$|T^{\prime }|=T$那么此時有$(T^{\prime }?\{w\})\cup \{x\}=T$。也就是$val(T^{\prime })?val(w)+val(x)=val(T)$。
  而又因為$val(w)<val(x)$所以$val(T^{\prime })<val(T)$，那么$T$就不是最優子集，所以不成立。
  證畢

所以我們就這樣從小到大加即可，時間復雜度$O(n{m}^2)$

---

$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=510; const double eps=1e-5; struct node{double x[N];int w; }a[N]; int n,m,cnt,p[N],ans; bool cmp(node x,node y) {return x.w<y.w;} int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%lf",&a[i].x[j]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].w);sort(a+1,a+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)if(fabs(a[i].x[j])>eps){if(!p[j]){p[j]=i;cnt++;ans+=a[i].w;break;}else{double rate=a[i].x[j]/a[p[j]].x[j];for(int k=j;k<=m;k++)a[i].x[k]-=a[p[j]].x[k]*rate;}}}printf("%d %d\n",cnt,ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3265-[JLOI2015]装备购买【线性基,拟阵贪心】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。