正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6178

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題目大意

給出一個$n$個點$m$條邊的無向/有向圖。

求所有的生成樹/以1為根的外向生成樹的權值乘積和。

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解題思路

矩陣$A$的行列式表示為$det(A)$，定義為
$$det(A)=\sum _P(?1{)}^{\mu (P)}\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}$$
其中$P$是一個$1～n$的排列，$\mu (P)$表示排列$P$的逆序對數量

即每一行選擇一個數乘起來，容斥系數與排列逆序對數量有關

我們需要解決的問題是如何快速求出一個矩陣的行列式，考慮如果對于所有行$i$都滿足$i+1～n$都沒有值，那么此時有$det(A)={\prod }_{i=1}^n{A}_{i,i}$。這個很容易理解，因為如果一行選擇的不是$i$，那么一定存在有一行$j$的選擇大于$j$，那么此時這個方案的權值就為$0$了。

那么我們需要將一個矩陣變換成一個行列式不變的上三角矩陣，這里需要用到行列式的初等變換

若交換兩行，那么行列式。因為交換后原來權值相同的容斥系數都會變化，所以值取反。

$$\left[\begin{array}{c}a+x,b+y\\ c,d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}x,y\\ c,d\end{array}\right]$$乘法分配率可得

若有兩行完全相同，那么這個行列式為$0$。證明方法是交換這兩行后矩陣不變理論上行列式也不便，但是行列式取反了，也就是原行列式為$0$

若讓一行加上另一行那么行列式不變，證明的話$$\left[\begin{array}{c}a,b\\ a,b\end{array}\right]=0$$ $$\left[\begin{array}{c}a,b\\ a+c,b+d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ a,b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]$$

然后這樣就可以用高斯消元的方法消矩陣了，然后就可以求出行列式了。

回到這題來，矩陣樹定理大體來說就是，$A$表示一張無向圖的鄰接矩陣，$D$表示度數矩陣（$D_{i,i}$為$i$的度數，其他為$0$）。去掉$D$和$A$的第$k$行和第$k$列之后就有$det(D?A)$就表示這張圖的生成樹個數。

當然有向圖也可以，如果是外向樹，那么$D$表示入度矩陣，內向就是出度矩陣，若$x$為根，去掉第$x$行第$x$列之后$det(D?A)$就是答案了。

這里是求權值乘積和，重邊數等于權值就好了。

時間復雜度$O(n^3)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=310,P=1e9+7; ll n,m,t,ans,a[N][N]; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans; } void dec(){ll f=1;ans=1;for(ll i=2;i<=n;i++){ll w=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[i][j]){if(i!=j)f=-f;w=j;break;}swap(a[i],a[w]);ll inv=power(a[i][i],P-2);ans=ans*a[i][i]%P;if(!a[i][i])return;for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]+rate*a[i][k]%P+P)%P;}}ans=ans*f;return; } int main() {scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);if(t)a[y][y]=(a[y][y]+w)%P,a[x][y]=(a[x][y]-w)%P;else a[x][x]=(a[x][x]+w)%P,a[y][y]=(a[y][y]+w)%P,a[x][y]=(a[x][y]-w)%P,a[y][x]=(a[y][x]-w)%P;}dec();printf("%lld\n",(ans+P)%P); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P6178-[模板]Matrix-Tree 定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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