正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3327

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題目大意

$T$組詢問給出$n,m$，$d(x)$表示$x$的約數個數，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(i?j)$$

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解題思路

對于$i$和$j$的兩個約數$a,b$如果他們互質，那么$a?b$是$i?j$的約數，所以有
$$d(i?j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$
那么答案就是求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]$$
$$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m?\frac{n}{x}??\frac{m}{y}?[gcd(x,y)==1]$$
我們定義
$$f(x)=\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m?\frac{n}{x}??\frac{m}{y}?[gcd(x,y)==x]$$
那么有$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m?\frac{n}{ix}??\frac{m}{iy}?=\sum _{i=1}^{\frac{n}{x}}?\frac{n}{ix}??\sum _{j=1}^{\frac{m}{x}}?\frac{m}{jx}?$$
考慮如何快速計算$F(x)$，計算出$w(x)={\sum }_{i=1}^x?\frac{x}{i}?$，不難發現對于給出的$n,m$有$F(x)=w(\frac{n}{x})w(\frac{m}{x})$。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5e4+1; ll T,n,m,ans,cnt; ll pri[N],s[N],mu[N]; bool vis[N]; void prime(){mu[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;for(ll j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}for(ll i=1;i<N;i++)mu[i]+=mu[i-1];for(ll i=1;i<N;i++){for(ll l=1,r;l<=i;l=r+1){r=i/(i/l); s[i]+=(r-l+1)*(i/l);}}return; } int main() {scanf("%lld",&T);prime();while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=s[n/l]*s[m/l]*(mu[r]-mu[l-1]);}printf("%lld\n",ans);} }

總結

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