正題

題目鏈接:https://loj.ac/problem/2035

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題目大意

$n$個數字分成$m$段，要求方差最小。

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解題思路

首先方差的公式$$\sum _{i=1}^n(x_i?|x|{)}^2$$
其中$|x|$是不變的，定義$w=|x|$
設$f_{i,j}$表示已經分到第$i$段，到第$j$個時的最小方差和。

做前綴和$s_i={\sum }_{j=1}^i{a}_i$
之后有$$f_{k,i}=min\{f_{k?1,j}+(s_i?s_j{)}^2+w^2?2(s_i?s_j)w\}$$
去掉$min$拆括號
$$f_{k,i}=f_{k?1,j}+s_i^2?2s_i{s}_j+s_j^2+w^2?2s_{i}w+s_{j}w$$
$$f_{k,i}?s_i^2+s_{i}w+2s_i{s}_j?2s_{j}w=f_{k?1,j}+s_j^2$$
求$f_{k,i}$最小就是$f_{k,i}?s_i^2+s_{i}w$最小，后為了方便
定義$F=f_{k,i}?s_i^2+s_{i}w$
$$F+2(s_i?w)s_j=f_{k?1,j}+s_j^2$$
然后有若干個決策點$(s_j,f_{k?1,j}+s_j^2)$
每次有一條直線$y=2(s_i?w)x+F$經過某個決策點要求$F$最小
顯然因為$s_i?w$的單調性和$s_j$的單調性我們可以使用單調隊列維護一個下凸殼。

時間復雜度$O(nm)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define pow2(x) ((x)*(x)) using namespace std; const int N=3100; struct node{double x,y;int num; }q[N]; int n,m; double s[N],f[N][N]; double slope(node x,node y) {return (y.y-x.y)/(y.x-x.x);} int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&s[i]),s[i]=s[i]*m+s[i-1];double w=s[n]/m;for(int i=1;i<=n;i++)f[1][i]=pow2(s[i]-w);for(int k=2;k<=m;k++){int head=1,tail=1;q[1]=(node){s[k-1],f[k-1][k-1]+pow2(s[k-1]),k-1};for(int i=k;i<=n;i++){int z=2*(s[i]-w);while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<z)head++;int p=q[head].num;f[k][i]=f[k-1][p]+pow2(s[i]-s[p]-w);node po=(node){s[i],f[k-1][i]+pow2(s[i]),i};while(head<tail&&slope(po,q[tail])<slope(q[tail-1],q[tail]))tail--;q[++tail]=po;}}printf("%.0lf",f[m][n]/m); }

總結

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