正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3195

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題目大意

$n$個物品，分成若干段，每一段的長度為$j?i+{\sum }_{i=l}^r{C}_k$，打包價格為$(長度?L{)}^2$

求最小價格和。

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解題思路

$s_i={\sum }_{j=1}^i{C}_j$
設$f_i$表示$i$前面的都打包完了，有
$$f_i=f_j+(s_i?s_j+i?j?1?L{)}^2$$
$$f_i=f_j+(s_i+i?s_j?j?1?L{)}^2$$
然后$dp$可以做到$O(n^2)$，因為有平方，考慮斜率優化
定義$a_i=s_i+i,b_i=s_j+j+1+L$
有
$$f_i=f_j+(a_i?b_j{)}^2$$
$$f_i=f_j+a_i^2?2a_i{b}_j+b_j^2$$
$$2a_i{b}_j+f_i?a_i^2=f_j+b_j^2$$

對于每一個$j$表示一個點$(b_j,f_j+b_j^2)$（后文中稱之為決策點）

考慮如何使$f_i$最小，因為$a_i^2$是定值即讓$f_i?a_i^2$最小，那么問題就變為了一條$y=2a_{i}x+k$的直線，要求經過某個決策點使得$k$最小。

那么顯然，可能的點一定是一個下凸殼(相鄰的點斜率單調上升)，而因為$2a_i$這個斜率也是單調上升的，我們可以知道答案就是第一個決策點滿足與下一個決策點的斜率$\ge 2a_i$。

那么我們維護一個單調隊列即可。

時間復雜度$O(n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define pow2(x) ((x)*(x)) using namespace std; const int N=5e4+10; struct node{double x,y;int num; }q[N]; int n,head,tail,L; double s[N],a[N],b[N],f[N]; double slope(node x,node y) {return ((y.y-x.y)/(y.x-x.x));} int main() {scanf("%d%d",&n,&L);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&s[i]);s[i]+=s[i-1];a[i]=s[i]+i;b[i]=s[i]+i+L+1;}b[0]=L+1;head=tail=1;q[1]=(node){b[0],b[0]*b[0],0};for(int i=1;i<=n;i++){while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<2*a[i])head++;int p=q[head].num;f[i]=f[p]+pow2(a[i]-b[p]);node w=(node){b[i],f[i]+b[i]*b[i],i};while(head<tail&&slope(w,q[tail-1])<slope(q[tail-1],q[tail]))tail--;q[++tail]=w;}printf("%.0lf",f[n]); }

總結

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