正題

題目鏈接:https://www.luogu.org/problem/P3750

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題目大意

$n$盞燈和按鈕，每次隨機(jī)選擇一個(gè)$x$按下后會(huì)讓$x$的倍數(shù)的燈都取反，然后若最少$k$步就可以將所有燈關(guān)閉那么直接選擇最優(yōu)策略，求關(guān)閉所有燈的期望次數(shù)。

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解題思路

做期望$dp$,設(shè)$f_i$表示從$i+1$個(gè)需要按下的到$i$個(gè)需要按下的時(shí)的期望次數(shù)，有轉(zhuǎn)移方程
$$f_i=\frac{i}{n}+\frac{n?i}{n}(f_{i+1}+f_i+1)$$
然后化簡(jiǎn)為
$$f_i=\frac{n+(n?i)?f_{i+1}}{i}$$
然后我們考慮燈的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)有些燈是必須按下的，而其他的燈都是不能按下的。所有我們可以計(jì)算出一個(gè)數(shù)$num$表示有多少按鈕必須按下，這時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)答案就是$({\sum }_{i=k+1}^{num}{f}_i)+k$，當(dāng)然要特判一下$num\le k$的情況。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=110000,XJQ=100003; ll n,a[N],f[N],num,ans,k; ll power(ll x,ll b) {ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans; } int main() {scanf("%lld%lld",&n,&k);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=n;i>=1;i--)if(a[i]){num++;for(ll j=1;j*j<=i;j++)if(!(i%j)){a[j]^=1;if(j*j!=i) a[i/j]^=1;}}f[n+1]=1;for(ll i=n;i>=1;i--)f[i]=((n-i)*f[i+1]%XJQ+n)%XJQ*power(i,XJQ-2)%XJQ;if(num<=k) ans=num;else{for(ll i=k+1;i<=num;i++)(ans+=f[i])%=XJQ;(ans+=k)%=XJQ;}for(ll i=1;i<=n;i++)ans=ans*i%XJQ;printf("%lld",ans); }

總結(jié)

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