正題

題目鏈接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4336

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題目大意

每次獲得第$i$張牌的概率為$p_i$(每次只能獲得一張)，期望多少回合后獲得所有牌。

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解題思路

$min?max$容斥:$$max\{S\}=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|?1}min\{T\}$$
然后本題顯然是要求$max\{E(S)\}$，然后容斥為
$$max\{E(S)\}=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|?1}min\{E(T)\}$$

我們發現對于一個集合的$min\{E(T)\}$，就是第一次拿到牌的期望值，也就是$\frac{1}{{\sum }_{x\in T}{p}_x}$
證明

我們有每次${\sum }_{x\in T}{p}_x$的概率獲得牌，為了方便陳述在后文用$P$代替。
假設我們抽$k$次能抽到，我們有$P$的概率取到，有$1?P$的概率多取一次
$$p+(1?p)(1+k)=k$$
$$p+1+k?p?pk=k$$
$$pk=1$$
$$k=\frac{1}{p}$$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int n,z,MS; double p[30],P,ans; int main(){while(scanf("%d",&n)==1){for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);MS=1<<n;ans=0;for(int i=1;i<MS;i++){P=z=0;for(int j=0;j<n;j++)if(i&(1<<j))P+=p[j],z++;ans+=((z&1)?1:-1)*1.0/P;}printf("%.9lf\n",ans);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的hdu4336-Card Collector【min-max容斥,期望概率】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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