正題

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題目大意

$n$個人的圓桌，可以放男可以放女，然后要求不能有連續$k$個女生坐在一起。求方案總數。

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解題思路

先不考慮圓桌，設$f_{i,j}$表示放了i個人，最前面有連續$j$個女生，動態轉移方程顯然
$$f_{i,j}=f_{i?1,j?1}(j!=0)$$
$$f_{i,0}=\sum _{j=0}^n{f}_{i?1,j}$$

設$r$表示長度為$l$不考慮循環重構的方案數那么有
$$r_i=\sum _{j=1}^k{f}_{i,j}?(j+1)$$
($j+1$)表示圓桌旋轉的方法

然后我們定義$q_i$表示長度為$i$且不由循環節構成的方案總數那么有
$$q_i=r_i?\sum _{d|i}{q}_d$$
然后定義$s_i$表示長度為$i$且包括循環重構的方案那么有
$$s_i=\sum _{d|i}\frac{q_d}{d}$$
(循環重復了$d$次)

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$code$

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long using namespace std; const ll XJQ=1e8+7,N=2010; ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans; } ll t,p[N][N],r[N],q[N],ans,n,k; int main() {scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld%lld",&n,&k);memset(p,0,sizeof(p));p[1][0]=1;for(ll i=1;i<=2000;i++)for(ll j=0;j<=min(i-1,k);j++){p[i+1][0]=(p[i+1][0]+p[i][j])%XJQ;p[i+1][j+1]+=p[i][j];}memset(r,0,sizeof(r));for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=k;j++)(r[i]+=p[i][j]*(j+1)%XJQ)%=XJQ;ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++){q[i]=r[i];for(ll j=1;j<i;j++)if(i%j==0)q[i]=(q[i]-q[j]+XJQ)%XJQ; }for(ll i=1;i<=n;i++)if(!(n%i)) (ans+=q[i]*power(i,XJQ-2)%XJQ)%=XJQ;if(n<=k) ans++;printf("%lld\n",ans);} }

總結

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