Count on a Treap

題目來(lái)源

Codechef Feb 2014 COT5
https://www.codechef.com/problems/COT5

問(wèn)題提出

什么是Treap

• 是一顆二叉搜索樹(shù),每個(gè)節(jié)點(diǎn)擁有$key$屬性.
• 是一顆堆,每個(gè)節(jié)點(diǎn)擁有$weight$屬性

問(wèn)題

• $n$次操作,三種類(lèi)型,要求維護(hù)"大根Treap"
  • $(0,k,w)$ ,插入$key$為$k,weight$為$w$的點(diǎn).
  • $(1,k)$,刪除$key$為$k$的點(diǎn)
  • $(2,k_u,k_v)$,詢問(wèn)$key$為$k_u,k_v$的兩點(diǎn)在$Treap$中的距離.

保證$key$,$weight$均不相同.

問(wèn)題解答

$dist(u,v)=dep(u)+dep(v)?2?dep(lca)$

我們以$key$為下標(biāo),將這個(gè)樹(shù)按中序遍歷展開(kāi).

顯然$[k_u,k_v]$之間最大的$weight$最大的點(diǎn)就是兩點(diǎn)的$lca$.

證明:首先$lca$一定在區(qū)間$[k_u,k_v]$之間,不然$k_u,k_v$將位于$lca$的同一側(cè),這不可能.其次權(quán)重最大的點(diǎn)一定是這顆子樹(shù)的根節(jié)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)一定是祖先,如果它不是$lca$的話,那么它的$key$將大于或小于$lca$形成的子樹(shù)中所有的點(diǎn)的$key$,也就是說(shuō)它不在區(qū)間$[k_u,k_v]$之間,矛盾.

至此,用線段樹(shù)可以輕松維護(hù)$lca$.

那么如何維護(hù)一個(gè)點(diǎn)在樹(shù)上的深度呢?

根據(jù)Treap的特殊性質(zhì),我們知道每個(gè)點(diǎn)的$weight$一定小于他父親的$weight$.

從這個(gè)點(diǎn)到根節(jié)點(diǎn)的祖先鏈上的$weight$是不斷遞增的.

這里有一個(gè)非常特殊的性質(zhì),在序列上就是從這個(gè)點(diǎn)往兩側(cè)各找一個(gè)直接的遞增子序列,那么序列上的點(diǎn)都是他的祖先.

這個(gè)性質(zhì)基于這樣一個(gè)事實(shí):每個(gè)點(diǎn)左右兩側(cè)的第一個(gè)大于它$weight$的點(diǎn),都是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)祖先.因?yàn)槠渲幸粋€(gè)點(diǎn)是它的父親,而另一個(gè)點(diǎn)…自己畫(huà)圖觀察一下就好了.

因此兩個(gè)遞增序列的長(zhǎng)度和就是它到根的距離.

如何維護(hù)某一個(gè)點(diǎn)向右的直接遞增序列呢.也是使用線段樹(shù),參考我的另一篇博客,樓房重建.

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线段树-Count on a Treap-神题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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