樓房重建

題目大意

小A的樓房外有一大片施工工地，工地上有N棟待建的樓房。每天，這片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他經常無聊地看著窗外發呆，數自己能夠看到多少棟房子。

為了簡化問題，我們考慮這些事件發生在一個二維平面上。小A在平面上(0,0)點的位置，第i棟樓房可以用一條連接(i,0)和(i,Hi)的線段表示，其中Hi為第i棟樓房的高度。如果這棟樓房上任何一個高度大于0的點與(0,0)的連線沒有與之前的線段相交，那么這棟樓房就被認為是可見的。

施工隊的建造總共進行了M天。初始時，所有樓房都還沒有開始建造，它們的高度均為0。在第i天，建筑隊將會將橫坐標為Xi的房屋的高度變為Yi(高度可以比原來大—修建，也可以比原來小—拆除，甚至可以保持不變—建筑隊這天什么事也沒做)。請你幫小A數數每天在建筑隊完工之后，他能看到多少棟樓房？

題目解答

給每個樓房表示成從原點到其的斜率,我們要求的就是從原點開始,斜率嚴格增大的序列長度.

用線段樹維護.

維護區間$[l,r]$中以$a[l]$開始的遞增序列的長度.

合并的時候,判斷$[l,mid]$的最大值與$a[mid+1]$之間的關系.

如果$max(a[l,mid])<a[mid+1]$,則$seg[o]=seg[lch]+seg[rch]$

否的話,需要在$[mid+1,r]$中尋找遞增序列的第一個數$>max(a[l,mid])$的遞增序列的長度,用$find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$表示,那么合并就是
$seg[o]=seg[lch]+find(rch,mid+1,r,max(a[l,mid]))$

下面我們需要實現$find$操作

邊界判斷,如果$find$的區間長度為$1$,那么直接判斷范圍即可.

我們需要對傳給$find(o,l,r,mx)$的區間$[l,r]$再分一次,遞歸查找.

如果$mx\le max(a[l,r])$ ,那么$res=seg[o]?seg[o.lch]+find(o.lch,l,mid,x)$
如果$mx>max(a[l,r])$ ,那么$res=find(o.rch,mid+1,r,x)$
因為$seg$是從下網上合并的,所以傳給$find$的$seg[o]$是計算好了的,所以可以直接使用.

時間復雜度是$O(nlognlogn)$

代碼

#include <iostream>const int N = 100007; int n,m;double T[N<<2],M[N<<2];inline int find(int o,int l,int r,double v) {if(l == r) return v < M[o];int mid = (l + r) >> 1;if(v < M[o<<1]) return find(o<<1,l,mid,v) + T[o] - T[o<<1];else return find(o<<1|1,mid+1,r,v); } inline void maintain(int o,int l,int r) {M[o] = std::max(M[o<<1],M[o<<1|1]);int mid = (l + r) >> 1;T[o] = T[o<<1] + find(o<<1|1,mid+1,r,M[o<<1]);} inline void change(int o,int l,int r,int pos,double val) {if(l == r) {M[o] = val;T[o] = 1;return ;}int mid = (l + r) >> 1;if(pos <= mid) change(o<<1,l,mid,pos,val);else change(o<<1|1,mid+1,r,pos,val);maintain(o,l,r); } inline void build(int o,int l,int r) {if(l == r) {M[o] = 0;T[o] = 1;return ; }int mid = (l + r) >> 1;build(o<<1,l,mid);build(o<<1|1,mid+1,r); }int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin >> n >> m;build(1,1,n);while(m--) {int pos;double val;std::cin >> pos >> val;change(1,1,n,pos,val/pos);std::cout << find(1,1,n,0.) << std::endl;}return 0; }

總結

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