連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬

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29.9 積分

 第2章 連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬本章討論連續(xù)系統(tǒng)的模擬技術(shù),由于這類系統(tǒng)中狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)動(dòng)態(tài)地變化，常常具有一定的規(guī)律，故可用一些數(shù)學(xué)方程來描述，這些方程就是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常以微分方程、代數(shù)方程為多見。下面將介紹利用數(shù)值積分法對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字模擬的基本原理和具體方法，并給出數(shù)值積分法中幾個(gè)常用的算法以及實(shí)現(xiàn)這些算法的計(jì)算程序，最后介紹兩個(gè)建模實(shí)例。 數(shù)值積分法不僅方法種類多，而且有較強(qiáng)的理論性，本章由淺入深地介紹幾種常見的數(shù)值解法。主要為單步法中的四階龍格--庫塔法與默森法和多步法中的亞當(dāng)斯法。 使用數(shù)字計(jì)算機(jī)對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，首先必須將連續(xù)系統(tǒng)離散化，并將它轉(zhuǎn)化為差分方程，以建立所謂的模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。描述連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征的數(shù)學(xué)模型是多種多樣的，除微分方程外，還有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖及狀態(tài)方程等，由于篇幅所限，本書不討論后兩種方法。 建立系統(tǒng)的模擬模型之后，就要選擇計(jì)算機(jī)語言(也叫算法語言)編寫系統(tǒng)模擬程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，將結(jié)果保留在數(shù)據(jù)文件中以待傳輸和處理。由于模擬的目的不同，可以選用不同的模擬模型和算法，其特點(diǎn)是運(yùn)算精度高，對于不同的計(jì)算機(jī)，字長一般在16位---72位之間，也可采用浮點(diǎn)運(yùn)算和雙精度運(yùn)算，其精度一般可達(dá)千萬分之一到百萬分之一。當(dāng)然結(jié)果的精度與所選的算法有關(guān)。這可以根據(jù)實(shí)際需要選擇機(jī)器、算法和模擬的步長。數(shù)字計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存容量大，可進(jìn)行各種運(yùn)算，在以前認(rèn)為是不可能解決的問題，利用數(shù)字計(jì)算機(jī)都可容易地或有可能得到解決。本章介紹的方法適應(yīng)性較強(qiáng)，應(yīng)用也十分廣泛。數(shù)字計(jì)算機(jī)上還有各種功能的軟件包(即一些子程序)，用戶可以稍加修改或不經(jīng)修改就可以用于自己的模擬程序中，解決自己的實(shí)際問題，使用非常方便。 2．1 歐拉(Euler)法 在討論連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬之前，讓我們先看一個(gè)化學(xué)反應(yīng)的例子，通過這個(gè)例子我們可以看到怎樣使用數(shù)字計(jì)算機(jī)模擬一個(gè)實(shí)際問題，雖然介紹的是歐拉法，但是分析問題的思路同樣適用與其它數(shù)值積分法。 當(dāng)兩種物質(zhì)A和B放到一起產(chǎn)生化學(xué)反應(yīng)時(shí)，產(chǎn)生第三種物質(zhì)C，一般一克A與一克B結(jié)合產(chǎn)生2克的C物質(zhì)，形成C 的速率與A 和B的數(shù)量乘積成正比，同樣C也可分解為A和B，C的分解速率正比與C的數(shù)量，即在任何時(shí)刻，如果a,b,和c是化學(xué)物質(zhì)A,B,和C的數(shù)量，即在任何時(shí)刻，如果a,b,和c是化學(xué)物質(zhì)A,B,C的數(shù)量，它們的增加和減少的速度服從下列微分方程。 (2.1)其中K1和K2 是比例常數(shù)(一般而言這些比例常數(shù)會(huì)隨溫度和壓力發(fā)生變化，但在模擬過程中，為了簡化模型，一般不允許其變化，故一律視為常數(shù))。在給出常數(shù)K1 和K2 值以及A和B的數(shù)量(C=0)后，我們希望能確定有多少C物質(zhì)產(chǎn)在出來，這種化學(xué)反應(yīng)速率的決定在化學(xué)工業(yè)上是有意義的。 模擬該系統(tǒng)的一個(gè)直接的方法是在t＝0時(shí)開始，使t以Δt間隔增加。假定化學(xué)量在Δt時(shí)間步長內(nèi)不變，而只能在Δt結(jié)束的瞬間發(fā)生變化，這樣在每個(gè)Δt結(jié)束時(shí)的A(或B或C)的數(shù)量就可以從Δt開始時(shí)的數(shù)值由下式求出 (2．2)同樣的方程b(t+Δt)和C(t+Δt),也可寫出。假定模擬周期為T,可將T分成N個(gè)小的時(shí)間步長Δt,及 -省略部分-加單位廣告產(chǎn)生的效果比s接近M的水平時(shí), 增加廣告所取得的效果更顯著. (3)生產(chǎn)企業(yè)為了擴(kuò)大銷售, 對每種產(chǎn)品究竟應(yīng)投入多少廣告費(fèi)用? 一般可采用最優(yōu)控制方法, 求出最佳 廣告費(fèi), 這里可利用產(chǎn)品利潤達(dá)到最大為目標(biāo), 構(gòu)成以下最優(yōu)控制問題:狀態(tài)方程初始條件s(0)=S0控制約束 0 ≤ A (t) ≤ θ其中π為每件產(chǎn)品的盈利,θ為最大允許廣告水平,解此問題,可確定最佳廣告費(fèi). 習(xí) 題 1.某一地區(qū)的病菌傳染,三種人員人數(shù)的狀態(tài)方程,即可能受傳染的人數(shù)x1,已被傳染得病的人數(shù)x2及已經(jīng)治愈的人數(shù)x3,并假設(shè)他們是因接觸傳染。設(shè) α是x1中單位時(shí)間內(nèi)的傳染系數(shù) β是x2中單位時(shí)間內(nèi)的被治愈的比例系數(shù)則得以下狀態(tài)方程本題α＝0.001， β＝0.027 初始條件：t=0, x1=620人， x2＝10人， x3＝70人 選步長：DT＝0.025，用四階RK法模擬 2．設(shè)一傳輸線路模型如圖，該電路由50個(gè)回路組成。用RK法求出I27，V34，IL及VL變化規(guī)律。 電路狀態(tài)方程為4 V=V-I·Rs I48=(V48-V49)/L I=(V-V1)·L/2 V49=(I49-IL) V=(I-I1)/C IL=(V49-VL)/L/2 I1= (V1-V2)/L VL=IL·RL V2= (I1-I2) /C I2=(V2-V3)/L 共99個(gè)一階微分方程，兩個(gè)代數(shù)方程已知L=0.5亨，法拉，歐姆，伏，步長DT=0.01,模擬時(shí)間TMAX=1.0 (提示：本題方程雖多，但基本相似，可以循環(huán)完成模擬)初始條件： 3.有一微分方程Ty＋y＝Ku ，試用歐拉法與歐拉改進(jìn)法示寫出解的差分方程，并討論步長應(yīng)選在什么范圍？若選的比2T大，將會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果？ 4.已知線性微分方程，當(dāng)取h=0時(shí)，使用歐拉與龍格-庫塔法寫出第一步計(jì)算的表達(dá)式和計(jì)算結(jié)果。 5.已知系統(tǒng)方程為斜坡輸入和正弦輸入的響應(yīng)進(jìn)行模擬，并打印響應(yīng)曲線。 6.將2-7中的水庫模擬缺少的子程序添加上，使用模擬數(shù)據(jù)庫運(yùn)行程序，打印現(xiàn)結(jié)果，并存在數(shù)據(jù)庫中(可使用模擬數(shù)據(jù))。 7.用極坐標(biāo)表示衛(wèi)星軌道，研究發(fā)射速度V對衛(wèi)星的軌道影響。假定作用在衛(wèi)星上的力僅僅是地球引力，則系統(tǒng)方程為K為重力系數(shù)(，地球半徑為6400km,計(jì)算發(fā)射速度分別為8km/s,10km和12km/s的衛(wèi)星軌道。 y r θ 關(guān)?鍵?詞： 系統(tǒng) 計(jì)算機(jī)模擬 連續(xù)

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總結(jié)

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