目錄：

• 分而治之算法
• 動態規劃
• 回溯算法

分而治之算法

分而治之算法是算法設計的一種方式，它將一個問題分成多個和原問題相似的小問題，遞歸解決小問題，再將解決方式合并以解決原來的問題（例如快速排序，二分搜索等）

分而治之算法可以分成三個部分

分解原問題為多個子問題（原問題的多個小實例）

解決子問題，用返回解決子問題的方式的遞歸算法。遞歸算法的基本情形可以用來解決子問題

組合這些子問題的解決方式，得到原問題的解

我們利用二分搜索作為例子來看看什么是分而治之，利用分而治之的理念，實現二分搜索可以是以下邏輯：

分解：計算mid并搜索數組較小或較大的一半

解決：在較小或較大的一半中搜索值

合并：這步不需要，因為我們直接返回了索引值

function

首先，找到找不到搜索值時的終止條件（行{1}），也就是當左右邊界相觸時，表示找不到該值，返回 -1。然后定義中間值mid（行{2}），判斷中間值和搜索值的大小，若相等，直接返回中間值（行{3}），若中間值小于搜索值，這對左邊子數組進行搜索，將右邊邊界縮小到當前中間值的前一位（行{5}），進行下一輪遞歸，若中間值大于搜索值，則對右邊子數組進行搜索，將左邊邊界增加到當前中間值后一位（行{7}），進行下一輪遍歷。

注意，第一次傳入的函數的數組必須是經過排序的，并且low表示數組第一個下標，high表示數組最后一個下標

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動態規劃

動態規劃（dynamic programming，DP）是一種將復雜問題分解成更小的子問題來解決的優化技術

注意：動態規劃和分而治之是不同的方法。分而治之方法是把問題分解成相互獨立的子問題，然后組合它們的答案，而動態規劃則是將問題分解成相互依賴的子問題。

用動態規劃解決問題時，要遵循三個重要步驟：

定義子問題

實現要反復執行來解決子問題的部分

識別并求解出基線條件

下面我們通過兩個例子來看動態規劃的實戰操作（背包問題，最長公共子序列）

· 背包問題

背包問題是一個組合優化問題，它可以描述如下：

給定一個固定大小，能夠攜重量W的背包，以及以組有價值和重要的物品，找出一個最佳解決方案，使得裝入背包的物品總重量不超過W，且總價值最大

例子：

考慮背包能夠攜帶的重要只有5，我們規定只能往背包里裝完整的物品（0-1背包）。對于這個例子，我們可以說最佳解決方案是往背包里裝入物品1和物品2，這樣總重要5，總價值為7

我們來實現這個背包算法：

function

我們來分析上面這段代碼是如何工作的

搜先，初始化將用于尋找解決方案的矩陣（行{1}）。矩陣為 kS[n+1][capacity + 1]。然后，忽略矩陣的第一列和第一行，只處理索引不為0的列和行（行{2}）并且要迭代數組中每個可用的項。物品i的重要必須小于約束capacity（行{3}）才有可能成為解決方案的一部分；否則，總重要就會超出背包能夠攜帶的重要，這是不可能發生的。發生這種情況時，只要忽略它，用之前的值就可以了（行{5}）。當找到可以構成解決方案的物品時，選擇價值最大的那個（行{4}）。然后，問題的解決方案就在這個二維表格右下角的最后一個格子里（行{7}）

我們做一個測試用例

const values = [3,4,5] weights = [2,3,4] capacity = 5 n = values.length

下圖說明例子中kS矩陣的構造

請注意，這個算法只輸出背包攜帶物品價值的最大值，而不列出實際的物品。我們可以增加下面的附加函數找出構成解決方案的物品（行{6}）

function

· 最長公共子序列

另一個經常被當作編程挑戰問題的動態規劃問題是最長公共子序列（LCS）：找出兩個字符串序列的最長子序列的長度。最長子序列是指，在兩個字符串序列中以相同順序出現，但不要求連續（非字符串子串）的字符串序列

考慮如下的例子。

再看看具體的算法

function

與背包問題比較，我們會發現兩者非常相似，這項從頂部開始構建解決方案的技術被稱為記憶化，而解決方案就在表格或矩陣的右下角

我們用圖來展示：

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回溯算法

回溯是一種漸進式尋找并構建問題解決方式的策略。我們從一個可能的動作開始并試著用這個動作解決問題。如果不能解決，就回溯并選擇另一個動作直到將問題解決。根據這種行為，回溯算法會嘗試所有可能的動作（如果更快找到了解決方法就嘗試較少的次數）來解決問題

我們以迷宮老鼠問題來看回溯算法

假設我們有一個大小為N x N的矩陣，矩陣的每個位置是一個方塊。每個位置（或塊）可以是空閑的（值為1）或是被阻擋的（值為0），如下圖所示，其中S是起點，D是終點

矩陣就是迷宮，‘老鼠’的目標是從位置[0][0]開始并移動到[n-1][n-1]（終點）。老鼠可以在垂直或水平方向上任何未被阻擋的位置間移動

我們先聲明下算法的基本結構

function

首先創建一個包含解的矩陣。將每個位置初始化為零（行{1}）。對于老鼠采取的每步行為，我們將路徑標記為1。如果算法能夠找到一個解（行{2}），就返回解決矩陣，否則返回一條錯誤信息（行{3}）

然后我們開始構思findPath函數，它會試著從位置x和y開始在給定的maze矩陣中找到一個解。回溯技巧也使用遞歸，這也是這個算法有回溯能力的原因

function

算法的第一步是驗證老鼠是否到達了終點（行{4}），如果到了，就將最后一個位置標記為路徑的一部分并且返回true，表示移動成功結束。如果不是最后一步，要驗證老鼠能否安全移動至該位置（行{5} 表示根據下面聲明的isSafe方法判斷出該位置空閑）。如果是安全的，我們將這步加入路徑（行{6}）并試著在maze矩陣中水平移動（向右）到下一個位置（行{7}）。如果水平移動不可行，我們就試著垂直向下移動到下一個位置（行{8}）。如果水平和垂直都不能移動，那么將這步從路徑中移除并回溯（行{9}），表示算法會嘗試另一個可能的解。在算法嘗試了所有可能的動作之后還是找不到解時，就返回false（行{10}），表示這個問題無解

實現isSafe函數

function

下面進行測試

const maze = [[1,0,0,0],[1,1,1,1],[0,0,1,0],[0,1,1,1] ] console.log(ratInAMaze(maze))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c++矩阵连乘的动态规划算法并输出_「Javascript算法设计」× 动态规划与回溯算法...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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