線性方程組的求解是線性代數(shù)中的基本技能，而齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法又是基礎(chǔ)。本文給出一個(gè)計(jì)算齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的公式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。

01 符號(hào)說明

• n元線性方程組的矩陣形式：(1)齊次線性方程組;(2)非齊次線性方程組;

• 系數(shù)矩陣：;

• 增廣矩陣：;

• 高斯消元法將系數(shù)矩陣化為最簡(jiǎn)形式：

02 公式及用法

由行最簡(jiǎn)形，得到齊次方程組的解矩陣為

例1 求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其中
解：高斯消元法：

此處，,所以由上述解矩陣公式可得，

所以這個(gè)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為

03 例外及變通

有的時(shí)候，齊次方程組的系數(shù)矩陣并不是都能化為行最簡(jiǎn)形的上述分塊矩陣表示的那樣，這時(shí)需要變通一下，加入一個(gè)列變換(相當(dāng)于交換兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)所在的列)，將其變?yōu)樯侠那樾巍５亲⒁?#xff0c;寫解矩陣時(shí)要加入一個(gè)行變換(把這兩個(gè)未知數(shù)對(duì)應(yīng)行交換)。下面用具體例子說明。

例2 求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其中

解：高斯消元法：

寫出解矩陣：

交換2、3行，修正得例2的解矩陣，

所以這個(gè)齊次方程組的基礎(chǔ)解系為

.

04 非齊次線性方程組通解的計(jì)算

解非齊次方程組時(shí)，用增廣矩陣(Ab),后面多了一列。高斯消元法步驟一樣。最后得到行最簡(jiǎn)形的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

得到齊次方程組的解矩陣為

其中左邊是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，右邊一列是非齊次方程組的特解。

例3 求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其中

解：將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形：

所以，得解矩陣為，

所以這個(gè)非齊次方程組的通解為

如果此時(shí)齊次方程組的行最簡(jiǎn)形左上角沒有出現(xiàn)單位矩陣塊，處理方法同03 例外及變通。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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