卷積

$h(t)?x(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t?\tau )d\tau$

令$\tau =u+\frac{t}{2}$，則

$h(t)?x(t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(?u+\frac{t}{2})du$

$h(t)?x(?t)={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(u+\frac{t}{2})x(u?\frac{t}{2})du$

序列傅里葉變換(SFT)性質(zhì)

SFT[1]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega )$，其中$\tilde{\delta }(\omega )$為以$2\pi$為周期的周期單位沖激函數(shù)。
SFT[$e^{j{\omega }_{0}n}$]=$2\pi \tilde{\delta }(\omega ?{\omega }_0)$

周期為$N$的周期序列$\tilde{x}(n)$的序列傅里葉變換

$X(e^{j\omega })=\frac{2\pi }{N}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\omega ?\frac{2\pi }{N}k)$ （$P_{76}$）

令$\tilde{x}(t)$為

$$\tilde{x}(t)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }\tilde{x}(n)\delta (t?n{T}_0)$$

是由$x(t)$以$T$為周期進行延拓后以$T_0$為間隔進行采樣得到的。$\tilde{x}(n)$周期為$N$，即每個周期有$N$個采樣點，則$\tilde{x}(t)$是周期為$T=N{T}_0$的采樣信號，是連續(xù)信號，其傅里葉變換為。

$$\begin{gathered} \tilde{X}(j\Omega )={X(e^{j\omega })|}_{\omega =\Omega T_0} \\ =\frac{2\pi }{N}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega T_0?\frac{2\pi }{N}k) \\ =\frac{2\pi }{N{T}_0}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{N{T}_0}k) \\ =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=?\infty }^{+\infty }\tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{T}k) \end{gathered}$$

那么$T\tilde{x}(t)?\sum _{k=?\infty }^{+\infty }2\pi \tilde{X}(k)\delta (\Omega ?\frac{2\pi }{T}k)$，也就是下面圖中的公式。

$Sa$函數(shù)與$sinc$函數(shù)的區(qū)別

$Sa(x)=\frac{\sin x}{x}$

$sinc(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

線性卷積與循環(huán)卷積

循環(huán)卷積序列是線性卷積序列以循環(huán)卷積的長度為周期周期延拓后的主值序列。

• 循環(huán)卷積序列 是有限的。

時域循環(huán)卷積定理

有限長序列$x_1(n)$、$x_2(n)$的長度分別為$N_1$和$N_2$，取$N?\max [N_1,N_2]$，$y(n)$是$x_1(n)$和$x_2(n)$的循環(huán)卷積，即$y(n)=x_1(n)?x_2(n)$，則

$$Y(k)=\mathrm{DFT}\left[y(n)\right]=X_1(k)X_2(k),0?k?N?1$$

$X_1(k)$和$X_2(k)$分別是$x_1(n)$和$x_2(n)$的$N$點DFT。

結(jié)論：當(dāng)循環(huán)卷積長度$N?\max [N_1,N_2]$時，循環(huán)卷積可用DFT來計算。

概率密度函數(shù)的特征函數(shù)

概率密度函數(shù)的傅里葉變換

$a=0$且$\gamma ={\sigma }^2=1$時，成為標(biāo)準(zhǔn)$\alpha$穩(wěn)定分布
$\beta =0$時稱為對稱分布，簡稱$S\alpha S$分布

功率歸一化

使信號的功率為1，即

$$y^{\prime }=\frac{y}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{\left|y(n)\right|}^2}}$$

剩余碼間干擾（ISI）定義

$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$

或
$$ISI=\frac{\sum {\left|\theta (n)\right|}^2?\max {\left|\theta (n)\right|}^2}{\max {\left|\theta (n)\right|}^2}$$

能量信號的能量譜密度

能量信號：能量有限，平均功率為0
若能量信號s(t)的傅里葉變換（頻譜密度）為S(f)，則稱${\left|S(f)\right|}^2$為能量譜密度
物理意義：表示頻率f處寬度為df的頻帶內(nèi)的信號能量，或者單位頻帶內(nèi)的信號能量

功率信號的功率譜密度

功率信號：能量無限，功率有限
對功率信號分段，求一段的能量譜密度${\left|S_T(f)\right|}^2$，則定義

$$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\left|S_T(f)\right|}^2$$

為功率信號的功率譜密度

物理意義：能量/時間，單位頻帶內(nèi)信號的功率

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【2021.02.09更新】数字信号处理公式推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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